Канонические и параметрические уравнения прямой

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Прямая в пространстве

Общие уравнения прямой

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Тогда система уравнений

определяет прямую  как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы. Эти уравнения называют общими уравнениями прямой.

Рассмотрим в пространстве произвольную прямую . Пусть дана некоторая точка  этой прямой и направляющий вектор  (вектор, параллельный рассматриваемой прямой).

Точка  принадлежит прямой  тогда и только тогда, когда векторы  и  коллинеарны, т. е. выполняется условие пропорциональности координат этих векторов:

.

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Выразим текущие координаты через параметр :

.

Такие уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Областью изменения параметра  является вся числовая ось: .

Замечание

В векторном виде уравнения прямой можно записать как , где  и  - радиус-векторы точек  и  соответственно.

Пусть теперь даны две точки  и . Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через эти точки. В качестве направляющего вектора выберем вектор . Тогда уравнение прямой, проходящей через две точки, будет иметь вид

.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как перейти от общих уравнений прямой к ее каноническим уравнениям. Для этого необходимо найти какую-либо точку  на прямой и направляющий вектор  прямой.

Пусть прямая  задана общими уравнениями

.

Координаты точки  получим из системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. В качестве направляющего вектора выбирают вектор

.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры