Извлечение корней из комплексных чисел

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

.                   Операции с множествами.

1. Включение множества А в множество В . При этом каждый элемент множества А является элементом множества В, и множество А называется подмножеством множества В. В частности, А=В, если все элементы множества А принадлежат множеству В и наоборот.

2. Объединение множеств А и В - множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В.

3. Пересечение множеств А и В - множество всех элементов, принадлежащих одновременно А и В.

4. Разность множеств А и В (А\В) – множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Из элементарной математики известно, что совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел R. На нем определены операции:

1)Сложение: для любой пары действительных чисел а и b определено единственное число a+b, называемое их суммой, причем выполняются следующие условия:

а) a+b=b+a

b) a+(b+c)=(a+b)+c

c) существует число 0 такое, что а+0=а для любого а R

Свойства гиперболы:

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

                               и .

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

              ,                                                                 (11.3`) 

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r_i от точки гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

Для вывода уравнения параболы выберем декартову

систему координат так, чтобы ее началом была середина

перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

су, а координатные оси располагались параллельно и

перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

          поскольку  Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px ,                                                            (11.4)

называемому каноническим уравнением параболы.

Величина р называется параметромпараболы.

                  Свойства параболы:

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).

d)  противоположное число –а, для которого а+(-а)=0.

2)Умножение:  определено единственное число ab, называемое их  произведением, такое, что выполняются следующие условия:

а) ab=ba

b) a(bc)=(ab)c

c) существует число 1 такое, что а·1=а

d) a 0 существует обратное число 1/а, для которого а· 1/а = 1.

Связь сложения и умножения: (a + b)c = ac + bc.

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами:

1)Упорядоченность -  либо a < b, либо a > b. При этом

а) если a < b и b < c, то a < c.

b) если a < b, то с a + c < b + c.

c) если a < b и с > 0, то ac < bc.

2)Непрерывность – для любых непустых множеств Х и Y таких, что  и

Подмножества множества R называют числовыми множествами.

Примеры числовых множеств:

1. Множество натуральных чисел N (1,2,3,…).

2. Множество целых чисел Z (

3. Множество рациональных чисел Q (числа вида m/n, где m и n – целые).

Определение 13.4. Если у=F(u) является функцией от u, a u=φ(x) – функцией от х, то

                      у = F[φ(x)]

называется сложной функциейили функцией от функции.

   Основные элементарные функции.

1. Степенная функция у = х^α,

2. Показательная функция у = а^х, a > 0, a 1.

3. Логарифмическая функция y=log_ax, a > 0, a 1.

4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x.

5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arсcos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, y = arccosec x.

Определение 13.5.Элементарной функцией y = f(x) называется функция, заданная с помощью основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.

Определение 13.6. Если для функции у = f(х) можно определить функцию х = g(у), ставящую в соответствие каждому значению функции у = f(x) значение ее аргумента х, то функция у = g(x) называется обратной функциейк у = f(x) и обозначается y = f ^–1(x).

3. Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (12.1):

а)            (12.8)

каноническое уравнение эллиптического параболоида,

б)            (12.9)

каноническое уравнение гиперболического параболоида

и уравнения цилиндрических поверхностей:

в)  - эллиптический цилиндр,                                                (12.10)

г)  - гиперболический цилиндр.                                            (12.11)

Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:

д) .                                                                                           (12.12)

4. Если два собственных числа равны 0, уравнение (12.1) приводится к одному из следующих видов:

а)  - параболический цилиндр,                                       (12.13)

б)  - пара параллельных плоскостей,                             (12.14)

в)     - пустое множество.

18. Комплексні числа. Операції над комплексними числами. Модуль та аргумент. Формула Муавра.

Комплексным числом z называется выражение вида z = x + iy, где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, т.е. i² = -1.

Если x = 0, то число 0 + iy называется чисто мнимым.

Если y = 0, то число x + i0 отождествляется с действительным числом x, а это означает, что множество всех действительных чисел R является подмножеством всех комплексных чисел C.

z = x + iy = 0, когда x = y = 0. Понятие больше и меньше для комплексных чисел не вводится.

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z, а y называется мнимой частью числа z и обозначается y = Im z.

Два комплексных числа  и  называются равными если:  и .

Два комплексных числа  и  называются сопряженными.

Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число .

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число  можно изобразить на плоскости Oxy следующим образом: x = Re z, y = Im z.

На оси Ox расположены действительные числа, поэтому она называется действительной осью. На оси Oy расположены чисто мнимые числа, поэтому она называется мнимой осью.

Удобной является интерпретация комплексного числа  как радиуса-вектора

Длина вектора  называется модулем комплексного числа .

Угол между действительной осью и вектором  называется аргументом комплексного числа Arg z = . Аргумент считается положительным или отрицательным в зависимости от того, ведется ли его отсчет от положительного направления действительной оси против или по часовой стрелке соответственно.

По заданной точке z ее модуль определяется единственным образом, а аргумент – с точностью до слагаемого , k = 0, 1, 2 и т.д. Значение аргумента , удовлетворяющее условию  называется главным и обозначается arg z.

В точке z = 0 аргумент не определен.

Таким образом, Arg z = arg z + .

Запись комплексного числа z в виде  (1) называется алгебраической формой комплексного числа.

2. Положение комплексного числа на плоскости удобно представлять в полярных координатах.

Модуль r и аргумент  комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число .

Тогда , ,

                         (2)

Такая запись называется триганометричекой записью комплексного числа.

, , , .

Так как = Arg z = arg z + , то , поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к триганометрической достаточно определить .

3. Используя формулу Эйлера  комплексное число  можно записать в так называемой показательной (экспоненциальной) форме

,    (3)

где  - модуль комплексного числа, а = Arg z = arg z +  - аргумент.

В силу формулы Эйлера функция  - периодическая с основным периодом .

1. Сложение комплексных чисел

Определение.Суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число

(1)

Свойства:

1)  - переместительное.

2)  - сочетательное.

2. Разность комплексных чисел

Определение.Разностью двух комплексных чисел  и  называется

20. Числова послідовність та її границя. Властивості границь.

Числовые последовательности представляют собой бесконечные упорядоченные множества чисел.

Если каждому числу n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел  называется числовой последовательностью.

Числа  называются элементами (членами) последовательности. Символ  называется общим элементом (членом) последовательности, а число n – его номером.

Числовая последовательность обозначается { }.

Геометрически числовые последовательности вещественных чисел изображаются на оси в виде точек, координаты которых равны соответствующим членам последовательности.

Последовательность вещественных чисел { } называется ограниченной сверху, если существует такое число M, что любое  этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Последовательность вещественных чисел { } называется ограниченной снизу, если существует такое число M, что любое  этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Последовательность { } ограничена, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа m и M, что для любого  этой последовательности верно неравенство .

Пусть , то для любого .

Последовательность { } – неограничена, если для любого A существует , при котором .

Предел последовательности.

Число a называется пределом { }, если для любого  существует такая зависимость , что при любых  выполняется неравенство:

    (1)

Если предел последовательности равен числу a, это записывается так:

Числовая последовательность { } называется бесконечно большой, если для любого n > 0 существует такой номер , что .

Очевидно, что бесконечно большая последовательность является неограниченной.

21. Монотонні послідовності. Число e.

Монотонные последовательности.

(1)возрастающая          строго монотонная

(2)неубывающая           строго монотонная

(3)убывающая

(4)невозрастающая

Числовая последовательность { } называется возрастающей, если при любом n выполняется условие (1), неубывающей при выполнении условия (2), убывающей при выполнении условия (3), невозрастающей при выполнении условия (4).

Монотонная ограниченная

комплексное число z, которое, будучи сложенное с , дает .

       (2)

Геометрически вычитание комплексных чисел производится как и векторов.

Модуль разности двух комплексных чисел равен:

3. Умножение комплексных чисел

Определение.Произведением комплексных чисел  и  называется комплексное число

           (3)

Свойства:

1.  - переместительное.

2. - сочетательное.

3.  - распределительное.

Если числа заданы в тригонометрической форме  и , тогда произведение будет равно

                          (4)

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Возведение в степень

                 (5)

Эта формула называется формулой Муавра.

4. Деление комплексных чисел

Определение.Частным двух комплексных чисел  и  называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на число , дает .

           (6)

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем

Для триганометрической формы записи комплексных чисел формула деления имеет вид:

   (7)

При делении комплексных чисел их модули соответственно делятся, а аргументы соответственно вычитаются.

 - формула Муавра.

Пусть , где .

Тогда на основании формулы Муавра имеем

Отсюда

,  (k = 0, 1, 2 и т.д.)

Следовательно, , .

Таким образом, окончательно

,          (8)

где (k = 0, 1, 2, …, n-1).

Числовая последовательность { } называется бесконечно малой, если для любого  существует такая зависимость , что при , выполняется .

Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

1. Суммой или разностью двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малая последовательность.

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью.

Сходящиеся последовательности.

Числовая последовательность { } называется сходящейся, если существует такое число a, что для любого  все находящиеся в окрестности элементы этой последовательности начиная с некоторого номера меньше a.

Таким образом, последовательность, имеющая конечный предел, является сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, является расходящейся.

Следствия.

1. Бесконечно большая последовательность не имеет предела.

2. Всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом a = 0.

3. Предел последовательности, у которой все члены равны числу C, где C – константа, равен C.

Основные свойства сходящихся последовательностей.

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу C, то предел этой последовательности – C.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Предел суммы двух или нескольких сходящихся последовательностей равен сумме пределов этих последовательностей.

4. Предел произведения сходящихся последовательностей равен произведению пределов.

5. Предел частного сходящихся последовательностей равен частному пределов, если предел знаменателя не равен нулю.

Монотонные последовательности.

(1)возрастающая          строго монотонная

(2)неубывающая           строго монотонная

(3)убывающая

(4)невозрастающая

Числовая последовательность { } называется возрастающей, если при любом n выполняется условие (1), неубывающей при выполнении условия (2), убывающей при выполнении условия (3), невозрастающей при выполнении условия (4).

Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте