Если = =0, система имеет бесконечно много решений.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

2) Если = =0, система имеет бесконечно много решений.

3) Если =0, а хотя бы один из  система не имеет решений.

Определение. Произведением  (или ) вектора  на действительное число  называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную | || |, и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направлению вектора , если < 0.

Свойства:

1. Если  || , то = . Теорема коллинеарности.

2. +  = + . Переместительный закон.

3.

4.

Если новые коэффициенты при х₂ не все равны нулю, можно таким же образом исключить  из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

     (2.4)

Здесь символами  и  обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы (2.4) единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

8. Проекція вектора на вісь. Поняття базиса. Декартова система координат.

Определение 5. Проекцией вектора  на ось l ( ) называется длина его компоненты  на ось l, взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси l.

Если  = 0, то полагают  = 0.

Теорема 1. Проекция вектора  на ось l равна произведению его модуля на косинус угла  между этим вектором и осью l:  = .

Свойства:

1.

2.

Определение 5.10. Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор

плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называютсякоординатами данного вектора в рассматриваемом базисе:

если a, b, c –базис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.

ab = X₁X₂ii +Y₁Y₂jj + Z₁Z₂kk + X₁Y₂ij +X₁Z₂ik + Y₁X₂ji + Y₁Z₂jk + Z₁X₂ki + Z₁Y₂kj.

Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj= 0 по свойству 2, поэтому

                 ab= X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ . 

8. cosφ = .                                             (5.6)

Замечание. Свойства 2, 3, 4 доказываются из определения 5.14, свойства 5, 6 – из свойств проекции, свойство 8 – из свойства 7 и свойств направляющих косинусов.

Пример.

a = {1, -5, 12}, b = {1, 5, 2}. Найдем скалярное произведение векторов аи b :

ab = 1·1 + (-5)·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0. Следовательно, векторы а и b ортогональны.

10. Векторний добуток векторів: визначення, властивості, вираження в декартових координатах.

Определение. Векторным произведением двух векторов  и  называется новый вектор , модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и , приведенных к общему началу, и который перпендикулярен к перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен к плоскости построенного на них параллелограмма) и направлен в такую строну, чтобы кратчайший поворот от  к  вокруг полученного вектора  представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

.

Это свойство следует из определения векторного произведения.

Таким образом, векторное произведение не обладает переместительным свойством.

2. ,

где  – скаляр.

Свойство 2 непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.

1. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т.е.

.

2. Если векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору, то либо равен нулевому вектору хотя бы один из перемножаемых векторов (тривиальный случай), либо равен нулю синус угла между ними, т.е. векторы коллинеарны.

Обратно, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору. Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора  и  были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору. Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулевому вектору.

11.Мішаний добуток векторів: визначення, властивості, вираження в декартових координатах.

Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, bи с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.

Обозначение: abc= [ab]c. 

          Свойства смешанного произведения.

Смешанное произведение [ab]c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,bи с компланарны, то [ab]c = 0.

Доказательство.

а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ab] ортогонален плоскости векторов аи b, и, следовательно, [ab] c. Поэтому [ab]c = 0.

в) Если a,b,cне компланарны, [ab]c = |[ab]||c| = S·|c|cosφ, где φ – угол между с и [ab]. Тогда  |c|cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ab]c = V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ab]. Утверждение доказано.

Следствие. [ab]c = a[bc].

Тогда любой вектор d  может быть представлен в виде их линейной комбинации:

                       d = Xi + Yj +Zk.                                                    (5.3)

Определение 5.12. Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.

Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.

Определение 5.13. Косинусы углов, образованных вектором о осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами.

Свойства направляющих косинусов:

1. X = |d| cosα, Y = |d| cosβ, Z = |d| cosγ.

2. , , .

3. cos²α + cos²β + cos²γ = 1.

12. Пряма на площині.

Уравнением линии на плоскости xOy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y в каждой точке этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Обозначается  или , где  - некоторая функциональная зависимость.

Уравнение прямой на плоскости.

Пусть прямая пересекает ось Oy в точке B и образует с осью Ox угол  ( ).

Возьмем на прямой произвольную точку M(x,y). Через точку M проведем прямую, параллельную Oy. Рассмотрим треугольник .

. Отсюда получим                    (1)

Формула (1) задает уравнение прямой.

Можно доказать, что координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнению (1). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют уравнению прямой с условным коэффициентом.

Частные случаи.

1. b = 0, y = kx. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при  острый угол, а при  - тупой угол.

2. , . y = b. Это уравнение прямой, параллельной оси Ox. Уравнение самой оси Ox имеет вид y = 0.

3. ,  не существует. Вертикальные прямые не имеют углового коэффициента.

Формула уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Пусть прямая проходит через точку M(x,y), точка  лежит на прямой, прямая образует с осью Ox угол отличный от прямого. Тогда

, где             (2)

Уравнение пучка прямых: , где k – произвольное число.

Уравнение прямой, проходящей через две данных точки  и .

(3)

13. Площина у просторі.

Уравнение плоскости в пространстве.

Уравнение  = 0 определяет в пространстве некоторую поверхность.

Пусть дана точка М₀ = (x₀, y₀, z₀) и ненулевой вектор (A,B,C). Построим в декартовой системе координат плоскость, проходящую через точку М₀, перпендикулярно к вектору  (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).

Рассмотри произвольную точку  этой плоскости. Так как вектор  лежит на плоскости, то он перпендикулярен к вектору .

Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: .

Преобразуем в координатную форму:

       (1)

Введя обозначение , уравнение (1) можно переписать в виде:

                          (2)

Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости.

Определение.Общее уравнение называется полным, если все его коэффициенты отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным.

Уравнение , где , ,  называется уравнением плоскости в «отрезках».

Виды неполных уравнений:

1) D = 0. Плоскость проходит через начало координат.

2) A = 0. Плоскость параллельно оси Ox (аналогично для других коэффициентов).

3) A = 0, B = 0. Плоскость параллельна координатной плоскости xOy.

4) A = 0, B = 0, С = 0. Плоскость представляет собой координатную плоскость.

14. Пряма у просторі.

Уравнение прямой в пространстве.

Рассмотрим систему уравнений:

     (1)

Каждое из уравнений системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны, то система (1) определяет прямую как линию пересечения этих плоскостей. Уравнения (1) называются общим уравнением прямой.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки

Каноническое уравнение прямой

где (х₀; у₀; z₀) – точка прямой,

(k; l; m) – направляющий вектор.

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

                 .      

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

15. Взаємне розміщення двох прямих, площин, прямої і площини в просторі.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров