Элементарные преобразования матриц.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число  называется матрица, элементы которой равны произведению числа  на соответствующие элементы матрицы A.

Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

Умножение матриц.Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго и третьего порядков. Пусть даны две матрицы

, .

2. Визначники. Властивості визначників.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка .

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице A, называется число, равное . Определитель обозначается символом  (кратко ). Таким образом, .   (1)

Элементы матрицы A называются элементами определителя , элементы  образуют главную диагональ, а элементы  – побочную.

Из равенства (1) видно, что для вычисления определителя второго порядка надо из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Величина определителя

1)не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами,

2)не меняется, если к элементам какой-либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число,

3) меняет знак, если поменять местами его строки или столбцы,

4)увеличивается в раз, если элементы какого-либо его столбца или строки увеличить в  раз, т.е. общий множитель, имеющийся в строке или столбце, можно выносить за знак определителя,

5)равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю,

6)равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны.

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице A, называется число, равное

(2)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», какие – со знаком «минус», полезно правило, называемое правилом треугольника.

Определение.Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит этот элемент. Минор элемента определителя  обозначается через .

Определение.Алгебраическим дополнением элемента  определителя  называется минор, взятый со знаком .

3. Обернена матриця. Матричні рівняння.

Если A – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям:

, ,

где E – единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица  имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Утверждение. Элементы обратной матрицы , если она существует, можно найти по формуле         или ,

где  – алгебраическое дополнение к элементу  матрицы , - алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

Примеры.

Найти матрицу обратную к , если .

Решение. Прежде всего, вычислим определитель матрицы , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

Следовательно, для  существует обратная матрица.

Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы обратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для имеем .

Вычислим последовательно элементы :

, ,

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C = AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Это правило сохраняется для умножения квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а также для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

В результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

При умножении матриц второго порядка особое значение имеет квадратная матрица

.

Матрица E называется единичной матрицей.

При умножении любой квадратной матрицы A второго порядка на матрицу E снова получится матрица A.

Если в матрице A сделать все строчки столбцами с тем же номером, то получим матрицу , называемую транспонированной к матрице A.

1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.

2. Умножение всех элементов ряда на число отличное от нуля.

3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Матрицы A и B называются эквивалентными, когда одна получается из другой путем элементарных преобразований. Эквивалентность двух матриц обозначается с помощью символа следования, т.е. .

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, в которой на главной диагонали стоит 1, а все остальные элементы равны 0. такую матрицу называют канонической.

Если A – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям:

, ,

где E – единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица  имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Утверждение. Элементы обратной матрицы , если она существует, можно найти по формуле         или ,

где  – алгебраическое дополнение к элементу  матрицы , - алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

, ,

, ,

, 

,

.

С учётом полученного обратная к  матрица имеет вид: .

Например, алгебраическим дополнением элемента определителя  является определитель, взятый со знаком «минус». Алгебраическое дополнение элемента  обозначается как . Следовательно, .

Определение.Матрицейиз m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m = n  – квадратная матрица.

Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

                                                          (3)

Формула (3) называется разложением определителя по элементам первой строки.

Определение.Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Определение.Дополнительным минором  элемента  матрицы  называется определитель матрицы n-го порядка, полученный из матрицы  вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

.

Определение.Минор -го порядка матрицы  называется её базисным минором, если он не равен нулю, а все миноры матрицы  порядка  и выше, если они существуют, равны нулю.

4. Системи лінійних рівнянь. Правило Крамера.

Определение 2.3. Линейным уравнением называется уравнение вида

            (2.1)

 где  и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Определение 2.4. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Определение 2.5. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

       (2.2)    

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Определение 2.6. Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел

 которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.