Если  система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

                        Правило Крамера.

    Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

 .

Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения  элементов j-го столбца

Сложив затем все уравнения, получим:

. (2.5)

Отметим, что                                                                                                        (j-й столбец)

5. Ранг матриці. Правила обчислення. Теорема Кронекера-Капеллі.

Определение 4.1. Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы.

Замечание. Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка.

Определение 4.2. Ранг матрицы – это порядок ее наибольшего ненулевого минора.

Обозначения: r(A), R(A), Rang A.

Замечание. Очевидно, что значение ранга матрицы не может превышать меньшей из ее размерностей.

Примеры:

1.  , r(A)=0.

2. . Матрица В содержит единственный ненулевой элемент -  являющийся минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков, составленные из элементов этой матрицы, будут содержать 0-ю строку и поэтому равны 0. Следовательно, r(B)=1.

3. . Единственным минором 3-го порядка является определитель матрицы С, но он равен 0, поскольку содержит пропорциональные столбцы. Следовательно, r(C)<3.

Для того, чтобы доказать, что r(C)=2, достаточно указать хотя бы один минор 2-го порядка, не равный 0, например, Значит, r(C)=2.

4. следовательно, r(E)=3.

Замечание. Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями). К ним относятся:

1) транспонирование

2) умножение строки на ненулевое число

3) перестановка строк

4) прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число

5) вычеркивание нулевой строки.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Теорема 4.1. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

6. Метод Гауса. Системи лінійних однорідних рівнянь.

Определение 2.3. Линейным уравнением называется уравнение вида

            (2.1)

 где  и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Определение 2.4. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Определение 2.5. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

       (2.2)    

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Определение 2.6. Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел

 которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

рассмотрим способы нахождения единственного решения системы,

в которой число уравнений равно числу неизвестных:   (2.3)

Пусть  (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на  и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на  где i – номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при  во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

          .

7. Лінійні операції над векторами. Лінійна залежність та незалежність векторів

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец.

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть  и  – два свободных вектора (рис. а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор = , затем от точки А отложим вектор = . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается  +  (рис. б).

Определение. Разностью двух векторов  и  называется третий вектор = – , сумма которого с вычитаемым вектором  дает вектор . Таким образом, если = – , то + =  (рис. г).

Назовем расширенной матрицей системы (2.2) матрицу вида

              , а матрицей системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных.

Теорема 4.2 (теорема Кронекера-Капелли). Система (2.2) совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство.

1) Необходимость: пусть система (2.2) совместна и ее решение. Тогда

,       (4.1)                    то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора.

Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, то есть

1) Достаточность: если то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации  то эти числа будут решением системы (2.2), т.е. эта система совместна. Теорема доказана.

(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при  и равен  при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель . Рассматривая j = 1,2,…,n, получим систему, эквивалентную исходной:   (2.6) . Разделив все уравнения на , найдем единственное решение:  .

Предположим теперь, что =0. Тогда система (2.6) примет вид:  .

В этом случае, если все =0, система выглядит так:  и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из  система решений не имеет.

Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров