Угол между плоскостями. Условия параллельности и

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Угол между плоскостями. Условия параллельности и

перпендикулярности плоскостей.

 Если две плоскости (α₁ и α₂) заданы общими уравнениями вида:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n₁={A₁,B₁,C₁) и n₂={A₂,B₂,C₂). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями α₁ и α₂ равен

                                                            (8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

                                                                                                   (8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

               A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0. 

16. Лінії другого порядку. Їх характеристики.

Определение 11.1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

 координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F₁F₂, начало   

координат – с серединой отрезка F₁F₂. Пусть длина этого

отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат

F₁(-c, 0), F₂(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и     

сумма расстояний от нее до F₁ и F₂ равна 2а.

Тогда r₁ + r₂ = 2a, но  

поэтому                                                                                                            

Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса:                                                                          (11.1)

Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (11.2)

Определение 11.4. Директрисой D_i эллипса, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

                    Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

Эксцентриситет эллипса e < 1.         

Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r₁ - r₂| = 2a, откуда Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить

            - каноническое уравнение гиперболы.        (11.3)

 Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

Определение 11.7. Директрисой D_i гиперболы, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

17. Поверхні другого порядку.

Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

-     (12.1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы  и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:

1. Если λ₁, λ₂, λ₃ – одного знака, уравнение (12.1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

а)                 (12.2)

каноническое уравнение эллипсоида.

Замечание, Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (12.2) становится уравнением сферы.

б)                           (12.3)

уравнение задает точку в пространстве;

в)                      (12.4)

пустое множество.

2. Если собственные числа разных знаков, уравнение (12.1) приводится к каноническому виду:

а)   - каноническое уравнение однополостного гиперболоида, (12.5)

б)       (12.6)

- каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,

в)          (12.7)

уравнение конуса второго порядка.

19. Множини, дії над ними. Відображення: ін’єкція, сюр’єкція, бієкція. Обернена функція. Точна верхня та нижня грані числової множини.

Множество – это совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.

Множество может содержать конечное и бесконечное число объектов.

Пусть X и Y – два множества. Тогда между ними можно определить отношения:

1. Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают.        X = Y.

2. Если все элементы множества X содержатся в Y, то X целиком содержится в Y.      X  Y.

3. Если ни один элемент X не содержится в Y, то и само X не содержится в Y.           X  Y.

4. Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым множеством.

5. Суммой или объединением X и Y называется совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y (обладающих свойством множеств X и Y).           X  YилиX + Y.

6. Пересечением множеств X и Y или их общей части является совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y.   X  Y.

7. Разностью множеств X и Y называется множеств, содержащее все элементы множества X, не содержащееся в Y.X \ Y.

Примечание. Когда говорят о множествах, используют символику  – любой,  – существует

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры