Основные определения и обозначения

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

1. Основные определения и обозначения

2. Действия над векторами.           

Основные определения и обозначения для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости.

Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом. Любая точка пространства рассматривается как нулевой вектор.

рис. 63

- нулевой вектор, обозначается .

Длина вектора обозначается | |.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Пусть два ненулевых вектора и коллинеарны. Если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то и называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными.

Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись означает, что векторы и сонаправлены, а запись - что векторы с и d противоположно направлены.

рис. 64

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Действия над векторами.

Сложение векторов по правилу треугольника:

рис. 65

для этого нужно от произвольной точки пространства отложить вектор , равный , затем от точки В отложить вектор , равный .

Вектор называется суммой и .

Таким образом + = , для любых трех точек А, В и С.

1. Сложение векторов по правилу параллелограмма:

рис. 66

для этого векторы откладывают от одной точки.

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Вычитание векторов:

рис. 67

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Разность - можно найти по формуле - = + (- ), где (- ) - вектор, противоположный вектору .

- = .

Сумма нескольких векторов в пространстве вычисляется так же, как и на плоскости и не зависит от порядка слагаемых.

Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|·| |, причем векторы и сонаправлены при k 0 и противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на произвольное число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число k обозначается так: k . Из определения произведения вектора на число следует, что для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны. Из этого же определения следует, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Для любых векторов , и любых чисел k, l справедливы равенства:

(kl) = k(l ) (сочетательный закон);

k( + ) = k + k (первый распределительный закон);

(к+l) = k + l (второй распределительный закон).

Лемма. Если векторы и коллинеарны и вектор не равен нулевому вектору, то существует число k такое, что вектор равен k .

Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Ясно, что любые два коллинеарных вектора компланарны; три вектора, среди которых имеется два коллинеарных, также компланарны, а три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Если вектор можно представить в виде = х + у , где х и у - некоторые числа, то векторы , и компланарны.

рис. 68

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться так называемым правилом параллелепипеда. Опишем его.

Пусть , , - некомпланарные векторы. Отложим от произвольной точки О пространства векторы = , = , = и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.

Тогда если ОD - диагональ этого параллелепипеда, то = + + .

Действительно, .

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Если , , - некомпланарные векторы, то любой вектор можно представить в виде:

= х + у + z ,

где х, у, z - числа.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США