Достаточное условие монотонности функции на интервале.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 31 из 38Следующая ⇒

Теорема 1.5. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале  функция  возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная  этой функции была положительной (соответственно отрицательной) в каждой точке интервала .

Доказательство. Достаточность. Пусть  (соответственно ) всюду на интервале . Докажем, что функция  возрастает (убывает) на интервале . Пусть  и  – произвольные точки интервала , удовлетворяющие условию . Тогда функция  дифференцируема (а стало быть и непрерывна) на сегменте . Поэтому к  можно применить теорему Лагранжа, в результате чего получим:

где .

Т.к.  и  из равенства (7) получим  что означает возрастание (убывание) функции . Теорема 1.5 доказана.

Замечание. Подчеркнём, что условие  (соответсовенно )  не является необходимым условием возрастания (соответственно убывания) функции  на интервале . Так функция  возрастает всюду на числовой прямой, в частности на интервале , однако, производная этой функции  не является положительной на этом интервале. (Она обращается в нуль в точке ).

Формула Коши.

Теорема 1.6. (Теорема Коши). Если функции  и  непрерывны на сегменте , дифференцируемы в каждой точке интервала , и если кроме того производная  отлична от нуля всюду на интервале , то существует точка  из интервала , такая, что справедлива формула:

называемая формулой Коши.

Доказательство. Прежде всего убедимся, что . Действительна, если бы , то для функции  выполнялись бы все условия теоремы Ролля. Тогда по этой теореме существовала бы точка , такая, что , что противоречит условию теоремы 1.6. Итак . Рассмотрим следующую функцию

Очевидно, что функция  непрерывна на сегменте  и дифференцируема на интервале . Кроме того

Следовательно выполнены все условия теоремы Ролля, согласно которой найдётся точка , такая что

Вычислим производную . Из равенства (9) имеем

Из равенства (12) и (13) имеем

или

Теорема 1.6 доказана.

Замечание. Формула Лагранжа (4) пункта 3 настоящего параграфа является частным случаем формулы Коши (8) при .

Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)

Первое правило Лопиталя.

Будем говорить, что отношению двух функций  представляет собой при  неопределённость вида , если

Раскрыть эту неопределённость, значит вычислить предел  (при условии, что этот предел существует).

Справедлива следующая теорема

Теорема 2.1. (Первое правило Лопиталя).

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть далее  и производная  отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки . Тогда, если существует конечный или бесконечный предел

то существует и предел  , причём справедлива формула

Доказательство. Пусть  – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к  и состоящая из чисел, отличных от . Будем предполагать, что все члены последовательности принадлежат окрестности точки , в которой определены функции  и . Доопределеним функции  и  в точке , считая их равными нулю в этой точке, т.е. . Тогда при любом  функции  и  будут непрерывны на сегменте , если  и на , если , дифференцируемы на интервале  и по условию . Таким образом для функций  и выполнены все условия теоремы Коши на сегменте . Тогда существует точка , такая, что

Т.к. , то получим

Т.к.  и , следует, что последовательность  также сходится к числу . . Из равенства (3) находим

Из существования предела  следует существование предела в правой части равенства (4), следовательно существует и предел в левой части равенства (4), причём

Т.к.  – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к , то отсюда заключаем, что существует предел .

Замечание 1. Если производные  и  удовлетворяют тем же условиям, что и сами функции  и , то правило Лопиталя можно применить повторно. Т.е.

Замечание 2. Теорема 2.1 остаётся верной и в случае, когда . Действительно, пусть например  и  существует (конечный или бесконечный). Обозначим через  величину . . Тогда  при .

Функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , при этом  в некоторой окрестности точки . . Тогда к правой части равенства можно применить первое правило Лопиталя, вследствие чего получим

Из последнего равенства и равенства (6) находим

Второе правило Лопиталя.

Будем говорить, что отношение двух функций  при  есть неопределённость типа , если  или .

Теорема 2.2. (Второе правило Лопиталя). Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может самой точки . Пусть далее  или  и  всюду в указанной окрестности точки . Тогда если существует предел  (конечный или бесконечный), то существует и предел , причём справедлива формула

Теорема 2.2 приводится без доказательства.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров