Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
Множество всех прямых плоскости, проходящих через данную точку  , будем называть пучком прямых, проходящих через точку  .
Пучок прямых, проходящих через точку будем обозначать  .
Рассмотрим множество всевозможных прямых, проходящих через некоторую точку и не параллельных оси  . Пусть  – уравнение произвольной прямой из указанного множества. Тогда  . Подставляя найденное выражение для коэффициента  в уравнение прямой, получим
Уравнение любой прямой, проходящей через точку и не параллельной оси , получается из уравнения (42) при соответствующем подборе углового коэффициента  . Это уравнение называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку
Пусть прямые  заданные общими уравнениями
пересекаются в единственной точке .
Справедлива следующая теорема:
Теорема 2.2. Для того, чтобы прямая  ,заданная общим уравнением  принадлежала пучку прямых, проходящих через точку , необходимо и достаточно, чтобы существовали такие действительные числа  и β,  , что  ,  ,  .
Доказательство. Докажем сначала достаточность.
Пусть выполнены равенства (45)  Докажем, что прямая принадлежит пучку . Для этого достаточно доказать справедливость равенства
Так как, точка принадлежит как прямой  , так и прямой  , то её координаты  ,  удовлетворяют равенствам
 . (46)
Рассмотрим выражение  . Подставляя в место коэффициентов  соответствующие выражения из равенств (45), получим
Достаточность доказана.
Докажем необходимость. Пусть прямая  задана её общим уравнением  принадлежит пучку , т.е. проходящих через точку .
Покажем, что существуют такие действительные числа и β, , что верны равенства (45).
Пусть  произвольная, отличная от , точка прямой . Положим  . Поскольку точка не может одновременно лежать на  , то по крайней мере одно из чисел  или  отлично от нуля.
Рассмотрим прямую заданную уравнением
 (47)
Из равенств
 .
Следует, что точки и лежат на прямой, заданной уравнением (47).
Так как, через две различные точки и  проходит единственная прямая, то прямая совпадает с прямой, заданной уравнением (47). Необходимость доказана.
Из теоремы следует, что прямая с общим уравнением  принадлежит пучку прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых 
Тогда и только тогда, когда уравнение прямой можно представить в виде
Заметим, что уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых можно получить путём соответствующего подбора и β.
В частности, если  ,  , мы получим уравнение прямой . Если  , мы получим уравнение прямой .
|
