Разложение определителя по строке (столбцу)

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 38Следующая ⇒

Теорема 4.1. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

В качестве иллюстрации докажем, что определитель любой квадратной матрицы третьего порядка равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Пусть.

Рассмотрим сумму произведений элементов первой строки на их алгебраическое дополнение

Легко заметить, что правая часть равенства (3) равна определителю матрицы .

Понятие определителя квадратной матрицы любого порядка .

Приведённая теорема 4.1 может быть положена в основу последовательного введения по индукции определителя четвёртого, пятого и всех последующих порядков.

Предположим, что уже введено понятие определителя -го порядка. Пусть  Минором каждого элемента  матрицы  является определитель -го порядка.

Назовём определителем квадратной матрицы  число равное

Заметим, что в правой части равенства (4) стоит сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Можно доказать, если взять сумму произведений элементов любой другой строки (столбца) матрицы  на их алгебраические дополнения, то получится число, равное .

Заметим также, что при  разложение (4) совпадает с разложением определителя третьего порядка по первой строке.

Такая схема введения определителя любого порядка изложена в книге В.А. Ильин, Э.Г. Позняк «Линейная алгебра» (М: Физматлит, 2001). Там же доказано, что определители любого порядка  обладают теми же свойствами, что определители второго и третьего порядков.

Заметим, что теоретически, определитель любой квадратной матрицы порядка  может быть вычислен с применением равенства (4). Однако на практике, при достаточно больших , применение равенства 4 весьма затруднительно, т.к. связано с большим числом вычислений. Так например, чтобы вычислить определитель 5-го порядка, надо вычислить 5 определителей четвёртого порядка или 20 определителей третьего порядка.

В дальнейшем приведём метод Гаусса, существенно облегчающий вычисление определителя.

Теорема 4.2. Определитель любой верхней треугольной (нижней треугольной) матрицы равен произведению диагональных элементов.

Доказательство. Рассмотрим случай верхней треугольной матрицы (Случай нижней треугольной матрицы рассматривается аналогично).

Разложив определитель  по первому столбцу, получим

Раскладывая полученный определитель -го порядка по первому столбцу и продолжая этот процесс, мы получим, что

Теорема 4.2. доказана.

Следствие из теоремы 4.2. Определитель любой диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Данное следствие непосредственно вытекает из теоремы 4.2. и того факта, что любая диагональная матрица является как верхней треугольной, так и нижней треугольной.

Теорема 4.3. ^**  Определитель произведения квадратных матриц  и  равен произведению определителей матриц-сомножителей, т.е.

Изящное доказательство этой теоремы можно найти в книге В.А. Ильин, Г.Д. Ким «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Теорема 4.4. (О фальшивом разложении определителя). Сумма произведений элементов одной строки (столбца) квадратной матрицы, на алгебраические дополнения элементов другой её строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Пусть  - произвольная квадратная матрица

Рассмотрим матрицу , которая отличается от  только j-й строкой: на месте j-й строки в матрице  стоит -я строка матрицы , т.е.

Определитель матрицы , т.к. в этой матрице две одинаковые строки. С другой стороны, по теореме 4.1. определитель матрицы  равен сумме произведений элементов j-й строки на их алгебраические дополнения

Вычисление определителя. Во многих задачах линейной алгебры возникает необходимость вычисления определителя.

Среди различных методов вычисления определителя особое место занимает метод Гаусса.

Суть метода Гаусса вычисления определителя состоит в следующем:

1. Привести элементарными преобразованиями данную квадратную матрицу к треугольному виду. При этом такие преобразования либо не изменяют определителя матрицы, либо изменяют его контролируемым образом;

2. Вычислить определитель треугольной матрицы;

3. Восстановить исходный определитель.

Обратная матрица

Условие обратимости. Матрица  называется обратной к матрице , если , где  - единичная матрица. Матрица , для которой существует обратная матрица, называется обратимой.

Так как равенство  возможно лишь для квадратных матриц  одинакового размера, то обратимой может быть лишь квадратная матрица. Однако, не каждая квадратная матрица обратима.

Квадратная матрица  называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Теорема 5.1. (Критерий обратимости) Матрица  обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена.

Доказательство.  Пусть  обратимая. Тогда существует матрица  такая, что . Из этого равенства и теоремы 4.3 следует, что . Следовательно , т.е. матрица  не вырождена.

Пусть теперь матрица  не вырождена. Рассмотрим вспомогательную матрицу

где – алгебраическое дополнение элемента  матрицы . Матрица  называется присоединённой или взаимной к матрице . Покажем, что матрица  является обратной к матрице . Тем самым будет доказана обратимость матрицы .

Рассмотрим матрицу . В позиции  матрицы  стоит элемент ,

. Из теоремы 4.4. и определения определителя n-го порядка следую, что  при  и  при . Следовательно

 .

Из последнего равенства следует, что .

Совершенно аналогично доказывается, что

, т.е. .

Теорема 5.1 доказана.

Теорема 5.2. (О единственности обратной матрицы) Если  - квадратная невырожденная матрица, то существует единственная обратная к ней матрица.

Доказательство. Т.к. матрица  невырождена, то в силу теоремы 5.1, она обратима, при этом матрица  является обратной к матрице .

Пусть  - произвольная матрица, удовлетворяющая равенствам . Единственность обратной матрицы будет доказана, если .

Умножая равенство  слева на матрицу , получим

                                                                 (1)

С другой стороны

= . (2)

Сравнивая равенства (1) и (2) приходим к выводу .

Теорема 5.2 доказана.

В качестве примера найдём обратную к матрице

Как уже известно, обратную матрицу  можно найти по формуле

Проверить самостоятельно, что .

Теорема 5.3. (обратимость призведения двух невырожденных матриц) Пусть  квадратные невырожденные матрицы порядка . Тогда матрица обратима и при этом

Доказательство.  В силу теоремы 4.3 . Т.е. матрица  - невырождена. Следовательно, в силу теоремы 5.1 обратима.

Рассмотрим матрицу

Рассмотрим теперь матрицу

Из равенств (3), (4) и определения обратной матрицы следует, что .

Обратная к невырожденной диагональной матрице. Пусть  - невырожденная диагональная матрица порядка .

                                                               .

Тогда . Из условия невырожденности матрицы  следует, что

Легко проверить, что обратной к матрице  будет матрица

(Проверить самостоятельно).

Замечание. Из теоремы 4.3 непосредственно вытекает справедливость равенства

(проверить самостоятельно).

Ранг матрицы.

Понятие ранга матрицы. Пусть  - произвольная матрица размера ,  - произвольное натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Выберем в матрице  произвольные  строк и  столбцов с номерами  и  соответственно. Элементы матрицы , стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка, расположенным в строках с номерами  и столбцах с номерами .

Для обозначения минора будем пользоваться символом  или .

Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считается равным нулю.

Ранг матрицы будем обозначать символами

                                                            .

Из определения ранга матрицы вытекают следующие факты:

1.Ранг матрицы не превосходит её размеров: есл , то

2.Равенство  равносильно выполнению двух условий: а) в матрице A существует ненулевой минор порядка r; б) любой минор более высокого порядка (если такой существует) равен нулю.

Пусть . Любой ненулевой минор порядка  называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы , в которых расположен базисный минор называются базисными строками и столбцами.

Теорема 6.1. При транспонировании матрицы её ранг не изменяется.

Доказательство. Справедливость приведенной теоремы вытекает из следующих двух фактов: 1. Определители транспонированных матриц равны; 2. При транспонировании базисные строки матрицы  становятся базисными столбцами матрицы , а базисные столбцы – базисными строками.

 Теорема 6.2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранга.

Справедливость теоремы непосредственно вытекает из определения ранга, так как, при элементарных преобразованиях матрицы, любой её ненулевой минор преобразуется в ненулевой минор.

  Теорема 6.3. Ранг трапециевидной матрицы равен числу её ненулевых строк.

Доказательство. Пусть матрица  имеет вид

                                          .

Рассмотрим минор  порядка , расположенный в левом верхнем углу матрицы .

                      .

  В силу теоремы 4.2 .

  Пусть - любой минор, порядок которого больше . Так как, в матрице  всего  ненулевых строк, то минор  содержит строку, целиком состоящую из нулей т.е. . Следовательно .

  Доказательство теоремы 6.3, для верхних травециевидных матриц остальных трех типов проводится аналогично.

  Метод Гаусса вычисления ранга. Теоретическую основу этого метода составляют, доказанные выше, теоремы 6.2 и 6.3. Суть метода Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении этой матрицы элементарными преобразованиями к верхней трапециевидной форме и подсчете ненулевых строк полученной трапециевидной матрицы.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?