Вещественные числа и правило их сравнения.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 38Следующая ⇒

Для расширения множества рациональных чисел рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей. Числа, представимые этими дробями, будем называть вещественными или действительными.

Вещественное число будем называть положительным, (соответственно отрицательным), если оно представимо в виде положительной бесконечной десятичной дроби. В состав множества вещественных чисел входят все рациональные числа, т.к. любое рациональное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби.

Действительно. Рассмотрим произвольное неотрицательное рациональное число вида . Поделив  на  «столбиком», мы получим представление рационального числа  в виде конечной десятичной дроби, либо бесконечной десятичной дроби. Например представимо в виде бесконечной десятичной дроби. Число  представимо в виде конечной десятичной дроби 0,5. Дописывая нули в последующих десятичных знаках, мы получим бесконечную дробь 0,500…. Заметим, что это же число представимо в виде другой бесконечно дроби 0,4999….

Такая же ситуация имеет место для любого рационального числа, представимого конечной десятичной дробью . Дописыванием нулей в последующих десятичных знаках из конечной десятичной дроби получится бесконечная десятичная дробь  .

Это же рациональное число  представимо и в виде другой бесконечной десятичной дроби , которая не может быть получена посредством деления «столбиком». Договоримся в дальнейшем не пользоваться вторым (заканчивающимся бесконечным числом девяток) представлением рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей.

Вещественные числа, не являющие рациональными, будем называть иррациональными.

Перейдём к формулировке правила сравнения двух произвольных вещественных чисел.

Рассмотрим два произвольных вещественных числа  и . Предположим, что эти числа представимы следующими бесконечными десятичными дробями:

причём в равенства (1) и (2) из двух знаков  берётся какой-то один.

Два вещественных числа (1) и (2) называются равными, если они имеют одинаковые знаки и если справедлива бесконечная цепочка равенств:

Рассмотрим теперь два неравных вещественных числа  и . Установим правило, позволяющее заключить, каким из двух знаков  или  связаны эти два числа. Пусть сначала оба числа  и  неотрицательны, т.е.

Т.к. числа  и  не равны, то нарушается хотя бы одно из равенств цепочки (3). Обозначим через  наименьший из номеров , для которых нарушается равенство. Т.е.

, но . Тогда будем считать, что , если , и , если . Итак, мы привели правило сравнения двух произвольных неотрицательных чисел.

Если одно из чисел  и  неотрицательно, а другое отрицательно, то будем считать, что неотрицательное число больше отрицательного.

Если оба числа  и  отрицательны, то мы будем считать, что , если  и , если .

Заметим, что в применении к двум рациональным числам сформулированное выше правило сравнения вещественных чисел приводит к тому же результату, что и правило сравнения рациональных чисел, сформулированное в пункте 1 настоящего параграфа.

Отметим теперь, что установленное правило сравнения вещественных чисел обладает свойством транзитивности знаков  и .

Свойство транзитивности знака  заключается в том, что для любых трёх вещественных чисел  и  из равенства , следует, что . Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из определения равенства вещественных чисел и справедливости своства транзитивности знака  для целых чисел.

Доказательство справедливости свойства транзитивности для знака  можно посмотреть в книге В. А. Ильин, А. В. Куркина «Высшая математика» гл. 1 §1 стр. 10 – 11

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии