Вынужденные колебания. Резонанс

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 51 из 51

▷ Похожие статьи

6.90

Шарик массой m может совершать незатухающие гармонические колебания около точки х = 0 с собственной частотой w0. В момент t = 0, когда шарик находился в положении равновесия, к нему при- ложили вынуждающую силу F = F 0 cos Ù t, совпадающую по направ- лению с осью х. Найти уравнение вынужденных колебаний шари- ка х (t).

6.91

Колебательная система совершает затухающие колебания с часто- той n = 1000 Гц. Определить частоту w0 собственных колебаний, если резонансная частота Ùp = 998 Гц.

6.92

Определить, насколько резонансная частота отличается от часто- ты n0 = 1 кГц собственных колебаний системы, характеризуемой ко- эффициентом затухания b = 400 с–1.

6.93

К пружине с коэффициентом упругости k = 10 Н/м подвесили груз с массой m = 10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Ко-

эффициент сопротивления равен r = 0,1 кг/с. Определить частоту w0

собственных колебаний.

6.94

Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при часто- тах n1 = 400 Гц и n2 = 600 Гц равны между собой. Определить резо- нансную частоту Ùp.

6.95

Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициен- том сопротивления r = 1 г/с. Считая затухание малым, определить ам- плитуду вынуждающей силы, если резонансная амплитуда А = 0,5 см и частота собственных колебаний w0 = 10 Гц.

6.96

Пружинный маятник (коэффициент упругости пружины k = 10 Н/м, с массой груза m = 100 г) совершает вынужденные колебания в вяз- кой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,02 кг/с. Определить коэффициент затухания b и резонансную амплитуду А, если ампли- тудное значение вынуждающей силы F 0 = 10 мН.

6.97

При какой скорости поезда рессоры его вагонов будут максималь- но колебаться под действием толчков колёс о стыки рельсов, если дли- на рельсов = 12,5 м, нагрузка на рессоры m = 5,5 т и рессора про- гибается на Ä x = 16 мм при нагрузке в одну тонну.

6.98

Найти максимальное значение амплитуды смещения осциллятора, совершающего установившиеся колебания под действием вынуждаю- щей периодической силы с амплитудой F 0 = 2,5 Н, если циклическая частота затухающих колебаний данного осциллятора w = 100 рад/с и коэффициент сопротивления r = 0,5 кг/с.

6.99

Найти разность фаз между смещением и вынуждающей си- лой при резонансе смещения, если собственная частота колебаний

w0 = 50 рад/с и коэффициент затухания b = 5,2 с–1.

6.100

Гиря с массой m = 20 г, подвешенная на пружине с коэффициен- том упругости k = 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с ко- эффициентом сопротивления r = 0,2 Н/с. На верхний конец пружи- ны действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону

F = 0,2 cos Ùt, в ньютонах. Определить:

а) частоту Ù вынужденных колебаний; б) резонансную частоту;

в) резонансную амплитуду.

6.101

Гиря с массой m = 0,5 кг, подвешенная на пружине с коэффициен- том упругости k = 50 H/м, совершает колебания в вязкой среде с ко- эффициентом сопротивления r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,1 cos Ùt. Определить для данной колебательной системы коэффициент зату- хания и резонансную амплитуду.

6.102

Определить резонансную частоту колебательной системы, если собственная частота колебаний n0 = 300 Гц, а логарифмический дек- ремент затухания l = 0,2.

6.103

Собственная частота колебаний системы w0 = 500 рад/с. Опреде- лить частоту w затухающих колебаний этой системы, если резонанс- ная частота Ùp = 499 рад/с.

6.104

Гиря массой m = 400 г, подвешенная на пружине с коэффициентом упругости k = 40 Н/м, опущена в масло. Коэффициент сопротивле- ния среды r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует выну- ждающая сила, изменяющаяся по закону F = cos Ù t.

Определить:

1) резонансную амплитуду.

2) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынуж- денных колебаний максимальна.

6.106

Тело совершает вынужденные колебания. При частоте n1 = 200 Гц амплитуда колебаний А 1 = 10 см, при частоте n2 = 210 Гц амплитуда А 2 = 4 см. Найти коэффициент затухания b системы и собственную частоту w0 колебаний, если удельная амплитуда вынуждающей силы

равнялась F

= 210 Н/г.

6.107 m

6.108

Шарик массой m может совершать незатухающие гармонические колебания около точки х = 0 с собственной частотой w0. В момент t = 0, когда шарик находился в состоянии равновесия, к нему при- ложили вынуждающую силу F = cos Ù t, совпадающую по направ- лению с осью х. Найти уравнение вынужденных колебаний шари- ка х (t).

6.109

Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний меньше ре- зонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы больше резонансной частоты на 10 %? Коэффициент затухания b принять равным 0,1 w0 (w0 — круговая частота собственных коле- баний).

6.110

Шарик массой m, подвешенный к пружинке, удлиняет послед- нюю на величину Ä. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой F 0, шарик со- вершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент за- тухания равен l. Пренебрегая массой пружинки, найти круговую час- тоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этой амплитуды?

6.111

Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах w1 = 400 рад/с и w2 = 600 рад/с равны. Найти частоту, при которой амплитуда максимальна.

6.112

При частотах вынуждающей гармонической силы w1 и w2 амплиту- да скорости частицы равна половине максимального значения. Най- ти частоту, соответствующую резонансу скорости.

6.113

При частотах вынуждающей гармонической силы w1 и w2 амплиту- да скорости частицы равна половине максимального значения. Най- ти коэффициент затухания b и частоту затухающих колебаний w час- тицы.

6.114

Период собственных колебаний пружинного маятника равен Т 0 = 0,55 с. В вязкой среде период того же маятника стал равным Т = 0,56 с. Определить резонансную частоту колебаний.

6.115

Под действием внешней вертикальной силы F = cos Ù t тело, под- вешенное на пружине, совершает установившиеся вынужденные ко- лебания по закону x = A cos(Ù t - j0).

Найти работу силы F за период колебаний.

6.116

К пружине с коэффициентом упругости k = 10 Н/м подвесили груз массой m = 10 г и погрузили систему в вязкую среду. Приняв коэф- фициент сопротивления равным r = 0,1 кг/с, определить резонанс- ную частоту Ùp.

6.117

Шарик массой m = 50 г подвешен на невесомой пружинке жест- кости k = 20 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гар- монической силы с частотой Ù = 25 рад/с шарик совершает устано- вившиеся колебания с амплитудой A = 1,3 см. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на j = 3p/4. Найти работу вынуждающей силы за период колебания.

6.118

Шарик массой m, подвешенный на невесомой пружинке, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания b. Собственная частота колебаний w0. Под действием внешней верти- кальной силы F = F 0 cos Ù t шарик совершает установившиеся гармо- нические колебания. Найти среднюю за период мощность силы F.

6.119

Шарик массой m, подвешенный на невесомой пружине, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания b. Собственная частота колебаний равна w0. Под действием внешней

вертикальной силы F = F 0 cos Ù t шарик совершает установившиеся

гармонические колебания. Найти частоту Ù, при которой средняя мощность силы максимальна.

6.120

Гирька массой m = 0,2 кг, висящая на вертикальной пружине, совер- шает затухающие колебания с коэффициентом затухания b = 0,75 с–1. Коэффициент упругости пружины k = 0,5 кг/см. Начертить зависи- мость амплитуды А вынужденных колебаний гирьки от частоты Ù

внешней периодической силы, если амплитуда возмущающей силы равна F 0 = 0,98 Н. Для построения графика найти значения А для сле- дующих частот: Ù = 0, Ù = 0,5w0, Ù = 0,75w0, Ù = w0, Ù = 1,5w0и Ù = 2w0, где w0 — частота собственных колебаний подвешенной гирки.

6.121

По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии = 30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на Ä x = 2 см под действи- ем груза массой m 1 = 1 кг. С какой скоростью катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раска- чиваться? Масса коляски m 2 = 10 кг.

6.122

Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с началь- ной фазой, равной нулю, и коэффициентом затухания b = 1,6 с–1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под дей- ствием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний х = 5 sin (10p t – 0,75 p). Найти уравнение внешней периодической силы.

6.123

К пружине c коэффициентом упругости k = 10 Н/м подвесили груз массой m = 10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв ко- эффициент сопротивления равным r = 0,1 Н/с, определить резонанс- ную амплитуду А, если вынуждающая сила изменяется по гармони- ческому закону и ее амплитудное значение F = 0,02 H.

6.124

На тело массой m = 10 г действует сила упругости с коэффициен- том k = 4 Н/м, сила сопротивления среды и периодическая возму- щающая сила F = 10 k cos 120 t. Какой коэффициент сопротивления соответствует амплитуде А = 8 см? Чему равна средняя кинетическая анергия за половину периода в этом случае?

6.125

Определить логарифмический декремент затухания l колебатель- ной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, мень- шей собственной частоты w0 = 10 рад/с на Äw0 = 2 рад/с.

Механические волны

6.126

От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний A = 0,1 м. Вычислить смещение точки, удаленной от источника на расстоянии = 3/4 длины волны в мо- мент, когда от начала колебаний источника прошло время t = 0,9 T колебаний?

6.127

Уравнение плоской волны x(x, t) = 6 ×10-6 cos(1900 t + 5, 72 x). Во сколько раз скорость распространения волны больше максималь- ной скорости движения частиц среды?

6.128

Уравнение плоской волны x(x, t) = 6 ×10-6 cos(1900 t + 5, 72 x). Най- ти расстояние между ближайшими точками волны, колеблющимися в противоположных фазах.

6.129

Уравнение плоской волны имеет вид

x(x, t) = 6 ×10-6 cos(1900 t + 5, 72 x).

Вычислить сдвиг фаз между колебаниями двух точек, расположен- ных вдоль луча на расстоянии = 37 см.

6.130

Однородная веревка массой m и длиной L подвешена за один ко- нец вертикально. Вычислить время движения волнового импульса от нижнего конца до верхнего.

6.131

Вычислить длину продольной волны частотой n = 7000 Гц, рас- пространяющейся вдоль железного стержня. Модуль Юнга для же- леза Е = 19,6 · 1010 Н/м2.

6.132

Определить скорость распространения продольных волн в меди.

Модуль Юнга для меди Е = 11,8 · 1010 Н/м2.

6.133

Скорость распространения продольных упругих колебаний в ме- таллическом стержне равна v = 5500 м/с. Модуль Юнга материала стержня Е = 7,95 · 1010 Н/м2. Определить плотность металла.

6.134

Найти модуль упругости металла, если скорость звука в этом ме- талле u = 4700 м/с, а его плотность r = 8,6 · 103 кг/м3.

6.135

На расстоянии 1 = 100 км от очага землетрясения зарегистриро-

вана сейсмическая волна с интенсивностью I = 1,4 · 106

Дж

м2 × с

. Чему

равна мощность, приходящая на поверхность площадью S = 5 м2, в точке, расположенной на расстоянии 2 = 2000 м от очага землетря- сения?

6.136

Уравнение колебаний, создаваемое источником, дано в виде

x(t) = 10 sin 0, 5p t. Записать уравнение колебаний для точки, отстоя- щей от источника колебаний на L = 600 м, если скорость распростра- нения колебаний u = 300 м/с.

6.137

Уравнение колебаний, создаваемых источником, x(t) = 10 sin 0, 5p t. Записать уравнение колебания для точки волны в момент t = 4 с по- сле начала колебаний.

6.138

Уравнение колебаний, создаваемых источником, x(t) = 4 sin 600p t. Вычислить смещение от положения равновесия точки, находящей- ся на расстоянии = 0,75 м от источника колебаний, через t = 0,01 с после начала колебаний, если скорость распространения колебаний u = 300 м/с.

6.139

Уравнение колебаний, создаваемых источником, x(t) = sin 0, 025p t. Вычислить скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии

= 20 м от источника колебаний, через t = 1 с после начала колеба- ний, если скорость распространения колебаний u = 100 м/с.

6.140

На расстоянии 1 = 100 км от очага землетрясения зарегистриро-

вана сейсмическая волна интенсивностью I = 1.4 · 106

Дж

м2 × с

. Чему рав-

на интенсивность в точке, расположенной на расстоянии 2 = 2000 м от очага землетрясения?

6.141

Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, находя- щихся на расстояниях соответственно 1 = 10 м и 2 = 16 м от ис- точника колебаний, если период колебаний Т = 0,04 с, скорость рас- пространения колебаний u = 300 м/с?

6.142

Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от

источника колебаний на расстоянии = l, для момента t = T, если

амплитуда колебаний А = 0,05 м. 12 6

6.143

Найти длину бегущей волны, если смещение от положения рав- новесия точки, находящейся на расстоянии = 0,04м от источника

колебаний в момент t = T, равно половине амплитуды.

6.144 6

Определить скорость u распространения волн в упругой среде, если разность фаз Äj колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на Ä x =15 см, равна p. Частота колебаний n = 25 Гц.

6.145 2

Определить разность фаз между колебаниями двух точек среды, находящихся на расстоянии = 10 см друг от друга, если в среде рас- пространяется плоская волна вдоль линии, соединяющей эти точки. Скорость распространения волны u = 340 м/с, частота колебания ис- точника n = 1000 Гц.

6.146

Волна распространяется в упругой среде со скоростью u = 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний ко- торых противоположны, = 1 м. Определить частоту колебаний.

6.147

Определить скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на расстояние L = 0,1 м, равна Äj = 60°. Частота колебаний n = 25 Гц.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология