Траектория, путь, перемещение

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 51Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

r r

При движении м. т. ее радиус-вектор относительно выбранной сис- темы отсчета изменяется в зависимости от времени � = �(t). Это век-

торное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям:

⎧ x = x (t);

⎨

⎪ y = y (t);

⎪⎩ z = z (t).

(1.3)

Совокупность всех последовательных положений материальной точки в пространстве определяет траекторию ее движения. Уравне- ние траектории z = z (x, y) находится в результате решения системы уравнений (1.3) путем исключения параметра t.

Движение называется прямолинейным, если его траектория — пря- мая линия, и криволинейным во всех других случаях. Вид траектории не зависит от выбора системы отсчета.

1.3. Скорость 75

Траектория криволинейного движения характеризуется кривизной

C = lim Äj = d j,

Δ s 2 τ2

Ä S ®0 Ä s ds τ1

где Äj - угол между касательными t1 и t2, проведенными в точках 1 и 2 (рис. 1.3.), Ä s — 1 длина участка между точками. Величина, обрат-

ная кривизне С, называется радиусом кривизны

Δφ R

О

R = 1 = lim

Ä s = ds.

Рис. 1.3

C Ä S ®0Äj d j Y

При движении м. т. по произвольной кри- волинейной траектории за интервал времени Ä t = t 2 - t 1 изменяется ее пространственное по- ложение относительно выбранной системы от-

счета, которое определяется радиус-вектором �.

� � � r

Изменение Ä r = r 2 - r 1 (рис. 1.4) за интервал вре- мени Ä t называется вектором перемещения.

За интервал времени Ä t м. т. проходит уча-

X

Рис. 1.4

сток траектории Ä s. Длина этого участка обозначается через s и на- зывается путь. Путь может быть больше модуля вектора перемещения или равен ему. Равенство наблюдается только в частных случаях — при прямолинейном движении тела в одном направлении, и для беско- нечно малых промежутков времени dt.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Назовите свойства пространства и времени.

2. Материальная точка — это реальное тело или его модель?

3. Из чего состоит система отсчета?

4. Назовите способы задания положения материальной точки в пространстве.

5. Дайте определение пути, перемещения, кривизны и радиуса кривизны траектории.

СКОРОСТЬ

Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения м. т. в пространстве.

Для характеристики движения м. т. вводят понятие средней и мгно- венной скорости.

Средней скоростью называется вектор, равный отношению векто-

r

ра перемещения Ä� к промежутку времени Ä t, в течение которого

произошло перемещение м. т.

uср = Ä r.

� Ä t

Направление ucp, совпадает с направлением вектора перемеще-

ния Ä�, (� ­­ Ä�) (рис 1.4).

r ucp r

Ä �.

Мгновенной скоростью называется предельное значение вектора средней скорости при стремлении Ä t к нулю

�

u=lim

� �

r = dr = r. (1.4)

Ä t ®0Ä t dt

�

Вектор перемещения dr направлен по секущей и при стремлении

Ä t к нулю стремится к касательной в точке 1 (рис�. 1.5 б).

Следовательно, вектор мгновенной скорости u направлен по ка-

сательной в заданной точке траектории в сторону движения м. т. Модуль мгновенной скорости определяется из соотношения

�

ds

�

u = u = =

dt dt

, (1.5)

Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от

t 1 до t 2

t 2

s 1,2 = òu dt, (1.6)

s

t 1

где u= ds

dt

— путевая скорость, ucp = t — средняя путевая скорость

за время движения t.

С учетом соотношений (1.1)

�

�

u= dr =

dt

d � � �

dt (rxi + ry j + rk) =

d � � �

(x × i + y × j + z × k) =

dt

� dx

� dy � dz

� � �

(1.7)

= i + j + k = u x × i + u y × j + u z × k,

dt dt dt

где u x

= dx,

dt

u = dy,

y dt

u = dz

z dt

— проекции скорости точки на оси

координат.

Модуль вектора скорости в декартовой системе координат

�

u = u =

. (1.8)

УСКОРЕНИЕ

В процессе движения направление и мо- дуль вектора скорости м. т. могут изменять- ся. Изменение вектора скорости определя- ется ускорением.

Ускорение материальной точки — век- торная величина, характеризующая быст- роту изменения вектора скорости с тече- нием времени.

По аналогии со средней и мгновенной скоростью вводят понятие среднего и мгно-

венного ускорения. Пусть�в момент време-

а)

1

б)

υ1

υ2

Δ t →0

2 υ2

Δυ

а

ни t 1м. т. и�меет скорость u1, а в момент t 2— скорость u2 (рис. 1.5). Тогда за промежуток

времени Ä t = t 2- t 1ве�кто�р ск�орости изме-

нится на величину Äu = u2 - u1, а среднее ускорение

Рис. 1.5

�

a cp

�

Ä

= u. (1.9)

Ä t

По направлению вектор среднего ускорения �

, совпадает с век-

u a cp u

тором Ä�(� ­­ Ä�).

Мгновенное ускорение

� � d �

2� �.

.�.

a cp

a = lim u= u = d r = u = r,

(1.10)

�

�

где a ­­ d u.

Ä t ®0 Ä t

dt dt 2

С учетом соотношений (1.1) и (1.7)

� d � d

� � � d u � d u � d u � � � �

a = u = (u i + u j + u k) = x i + y j + z k = a i + a j + a k,

dt dt

2 � 2

x y z

� � �

dt dt dt

2 � 2 � 2 �

x y z

� � �

� dr d

d x d y d z

, (1.11)

a =

dt 2

= (x × i + y × j + z × k) = i +

dt 2 dt 2 dt 2

j + k = a i + a j + a k dt 2 x y z

где ax

= d u x =

dt

d 2 x

dt 2,

a = d u y =

y dt

d 2 y

dt 2,

a = d u z =

z dt

d 2 z

dt 2

— проекции ус-

корения точки на оси координат.

Модуль вектора ускорения в декартовой системе координат

�

a =. (1.12)

Вектор ускорения � можно разложить на

а τ a

υ1 2 υ2

τ а

два вектора a tи an (рис. 1.6).

Составляющая ускорения, характеризую- щая изменение мгновенной скорости по вели-

a t

чине, называется касательным (тангенциаль-

ным) ускорением �.

Рис. 1.6

Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории и характеризую-

щая изменение вектора скорости по направле-

an

нию, называется нормальным ускорением �.

Вектор полного ускорения

= +

� � �

a a t an, (1.13)

а его модуль

a =. (1.14)

Определим модули векторов � и �.

� an a t

Введем единичный вектор t, направленный по касательной к за- данной точке траектории в сторону движения м. т. (рис. 1.6). Тогда

вектор мгновенной скорости � = u× � (� ­­ �).

u t t u

Запишем мгновенное ускорение в виде

d � d (u× �) � × d u u× d �

a = u = t

= t + t, (1.15)

dt dt dt dt

где первое слагаемое по определению равно касательному ускорению

а второе — нормальному

a t=

�

�

d u �

t,

dt

d �

a = u× t, (1.16)

n dt

Вектор касательного ускорения мо- жет совпадать с вектором мгновенной

� �

скорости (a ­­) и может быть ему ан-

t u

� �

типараллелен (a ­¯). В первом случае

t u

движение будет ускоренным, а во вто-

ром — замедленным.

Рассмотрим перемещение матери- A

t

�

альной точки по траектории из точки A 1 в точку A 2 (рис 1.7а). За малый ин- тервал времени dt единичный вектор

в точке А 2 равен

� � �

t2 = t1 + d t,

где t1

A 1

— единичный вектор, опреде-

ляющий�направление движения в точ- ке А 1, d t — вектор изменения направ-

ления движения.

Рис. 1.7

� � �

Треугольник A 1 DC, образованный векторами t1, t2 и d t, равно-

бедренный, т. к. � = � =1. При dt ® 0, угол Äj между векторами

� � t1 t2

t1и t2умен�ьшает�ся и стремится к нулю (рис. 1.7б), а угол b межд�у векторами t1и d t увеличивается до 90°. Следовател�ьно, вектор d t

�

направлен по нормали к скорости. Так как an

= u× d t, то и вектор

dt

� �

� �

an ­­ d t, an ^ t.

Модуль вектора нормального ускорения найдем из треугольников

OA 1 A2 и A 1DC (рис. 1.7а). Указан�ные т�реугольники равнобедренные

=

и подобные, так как при Ä t ® 0 | R 1 |=| R 2

|= R,

� �

t1 t2

= 1, где R – ра-

диус кривизны траектории. Из соотношения сторон треугольников

OA 1 = OA 2 = A 1 A 2 = R 1 = R 2 = Ä R. (1.18)

A 1 D A 1 C CD t1 t2 d t

Учитывая, что при dt ® 0 Ä R = dR, R 1 = R 2 = R,

d t = dR. (1.19)

R

Вектор d � можно представить в виде d � = � × d t = n dR, где � –

t t n n

� � � R

единичный вектор, совпадающий с вектором d t (d t­­ n) (рис. 1.7б). Тогда вектор нормального ускорения

�

� n u dR � u 2

где u= dR.

dt

an =

Rdt

= n, (1.20)

R

Следовательно, модуль вектора нормального ускорения

� u2

an = an

=. (1.21)

R

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение средней и мгновенной скорости.

2. Совпадают ли векторы средней и мгновенной скорости мате- риальной точки, движущейся по окружности?

3. Определите физический смысл понятий скорости и ускорения движения материальной точки.

4. Запишите выражения для векторов скорости и ускорения мате- риальной точки в декартовой системе координат.

5. Определите модуль вектора скорости и ускорения в декартовой системе координат.

6. Дайте определение тангенциального, нормального и полного ускорений.

7. Определите модуль вектора ускорения движения точки по ок- ружности радиусом R = 1 м, в момент времени t = 2 с от начала дви- жения, если зависимость модуля вектора скорости от времени зада-

ется уравнением u(t) = 2 t 2.

Примеры решения задач

Задача 1.1.

Определить модуль вектора скорости материальной точки в мо-

мент врем�ени t = 5 c�, если зависимость радиус вектора от времени

� 2 2

r (t) = At i + B sin(p t) j, где А = 1 м/с, B = 5 м.

� � �

Дано: r (t) = At 2 + B sin(p t); А = 1 м/с2; В = 5 м; t = 5 с.

i j

Найти: u.

Из условия задачи следует, что r (t) = At 2, r (t) = B sin(p t), r (t) = 0,

x y z

и, следовательно, материальная точка движется в плоскости OXY. Определим проекции вектора скорости.

u = dx = 2 At, u

x dt y

= dy = p B cos(p t),

dt

Найдем модуль вектора скорости (см. 1.8.).

u = =.

Ответ: модуль вектора скорости

u = = 18, 7

м/с.

Задача 1.2.

Координаты двух материальных точек x (t) = At + B t 2 + C t 3,

1 1 1 1

x (t) = A t + B t 2 + C t 3, где B 1 = 4 м/c2, C 1=–3 м/c3, B 2= –2м/c2, C 2 = 1

2 2 2 2

м/c3. Определить проекции ускорения точек на ось Х и момент вре- мени t 1, когда их ускорения равны.

Дано: x (t) = At + B t 2 + C t 3; x (t) = A t + B t 2 + C t 3;

B 1 = 4 м/c2,

1 1 1 1 2 2 2 2

C 1 = –3 м/c3, B 2= –2м/c2, C 2 = 1 м/c3.

Найти: t 1, a 1 x (t 1), a 2 x (t 1).

По формуле (1.11) находим ускорения

d 2 x

a (t) = 1 = 2 B + 6 C t, a

d 2 x

(t) = 2 = 2 B

+ 6 C t.

(1)

1 x dt 2 1 1 2 x dt 2 2 2

В момент времени t 1 по условию задачи a 1 x (t 1) = a 2 x (t 1),

2 B 1 + 6 C 1 t 1 = 2 B 2 + 6 C 2 t 1.

Из последнего равенства находим

t = B 1 - B 2.

1 3(C - C)

2 1

Из уравнений (1) определим ускорение точек в момент време-

ни t 1

a (t) = a (t) = 2 B + 6 C t. = 2 ⎛ B + C 1(B 1 - B 2)⎞.

1 x 2 x

1 1 1

⎝⎜1

C 2 - C 1 ⎟⎠

Ответ:

t = B 1 - B 2

= 0, 5 c; a = a

= 2 ⎛ B + C 1(B 1 - B 2)⎞= -1 м/с2.

1 3(C - C)

2 1

1 x 2 x

⎝⎜ 1 C - C ⎟⎠

2 1

Задача 1.3.

Точка движется по окружности радиусом R = 3 м по закону s =

= At 2 + Bt, где A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с2. Определить для момента вре-

мени t = 1 c после�начала движения модули векторов нормального

� �

an, касательного a tи полного a ускорений.

Дано: s = At 2 + Bt; A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с2, R = 3 м, t = 1 c. Найти: a t, an, a.

Модуль скорости (см. 1.6.)

()

u t = dS ( t ) = 2 At + B.

dt

Модуль вектора касательного ускорения

a = d u(t) = 2 A.

t dt

Модуль вектора нормального ускорения

u2(t) (2 At + B)2

an = R = R.

Модуль полного ускорения

a = =

.

(2 At + B)2

Ответ: a t= 2 A = 0,8 м/с2, an =

= 0, 27 м/с2,

R

a = = 0,84

м/с2.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров