Условия равновесия твердого тела

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 34 из 51Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Из (5.1) и (5.2) следует, что твердое тело находится в равновесии, если:

1) векторная сумма сил, п � рилож � енных к телу, равна нулю

или

F = å Fi

i

= 0 (5.4)

⎧å F

= 0,

⎪ ix

⎪⎪ i

⎨å Fiy = 0,

⎪ i

⎩ i

⎪⎪å Fiz = 0;

(5.5)

и 2) векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относи-

тельно неподвижной точки, � равна н � улю

или

M = å Mi i

= 0 (5.6)

⎪

å M

⎧

ix

⎪⎪ i

= 0,

⎨å Miy = 0,

⎪ i

⎩ i

⎪⎪å Miz = 0.

(5.7)

Так как имеет место равенство (5.4), то, следуя (4.22), можно ут- верждать, что равенства (5.6–5.7) справедливы относительно любой неподвижной точки пространства.

Рассмотрим частный случай. Пусть все силы, действующие на твердое тело, лежат в плоскости ХОY (рис. 5.1а), т. е. имеют нулевые проекции на ось Z. Тогда любой вектор силы и радиус-вектор точки

�

ее приложения можно представить в виде

� � �

r = xi + yj + 0 × k; (5.8)

� � � �

� � �

F = Fxi + Fy j + 0 × k.

где i, j и k — единичные векторы вдоль соответствующих осей X, Y

�

и Z. Подставим�(5.8) в�(4.3) � � � � � �

M =[, F ]=[ xi + yj + 0 × k, F i + F j + 0 × k ]

r x y

и, используя�свойства векторного произведения, �

� �

[ a, b ] = (a b - a b) + (a b

�

- a b) + (a b

- a b) k

y z z y i

z x x z j

x y y z

получим � � � �

M = (y × 0 - 0 × Fy) i + (0 × Fx - x × 0) j + (xFy - yFx) k =

где

� � �

= 0 × i + 0 × j + Mzk

�

= Mzk,

(5.9)

Mz = xFy - yFx. (5.10)

Система уравнений (5.7) в данном случае сводится к одному урав- нению

å M zi = 0. (5.11)

i �

Пусть точка О неподвижна, а к точке O' приложена сила F

(рис. 5.1а). Тогда:

если направление действия с�илы составляет с направлением пря- мой ОO' угол 0 < a < p, то сила F вращает тело относительно т. О вле-

во, т. е. против часовой стрелке;

если направление силы� составляет с направлением прямой ОO'

угол -p < a¢ < 0, то сила F вращает тело относительно т. О вправо, т. е. по часовой стрелки;

если направление силы составля�ет с направл�ением прямой ОO'

r

r

нулевой угол или угол p, т. е. � ­­ F или � ­¯ F, то никакого вра-

щения не происходит.

z

б в

Рис. 5.1

Выберем ось Z вдоль оси вращения, например так,�как пока�зано на рис. 5.1. Рассмотрим проекцию на ось Z момента M силы F, обра-

зующей с прямой ОO' угол a (рис. 5.1б), т. е. вращающей тело про-

тив часовой с�трелки. Из свойств векторного произведения следует, что момент M параллелен оси Z и составляет с ней угол 0. Следова-

тельно (4.14),

Mz = M cos 0 = M. (5.12)

�

Если сила F образует с прямой ОO' уг�ол a¢ (рис. 5.1в), т. е. вра- щает тело по часовой стрелке, то момент M параллелен оси Z и, сле-

довательно, составляет с ней угол p. Тогда

Mz = M cos p = - M. (5.13) Следовательно, уравнение (5.11) имеет вид

å M zi = ± M 1± M 2..... ± Mn = 0, (5.14)

i

где знак (–) ставится, если сила вращает тело по часовой стрелке, а знак (+) — в противоположную сторону (против часовой стрелки).

Отметим, что условия равновесия твердого тела определяют усло- вия неизменности движения, а не его отсутствия, так как из равен- ства нулю сил и их моментов следует равенство нулю ускорений. При этом центр масс тела может двигаться равномерно и прямолиней- но, а само тело — равномерно вращаться. Если тело покоится (с ко- рость тела равна нулю), то при выполнении условий равновесия оно не выйдет из состояния покоя (нулевая скорость не может изменить- ся со временем, так как ускорение равно нулю). Таким образом, ус- ловия равновесия — это необходимые, но не достаточные условия по- коя. Для материальной точки, в отличие от твердого тела, среди всех инерциальных систем всегда можно всегда выбрать такую систему, в которой выполняются уравнения равновесия материальной точки (5.4), и она покоится.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Сформулируйте условия равновесия твердого тела.

2. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z положительна и равна произведению модуля силы на плечо силы?

3. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоско- сти ХОУ, на ось z отрицательна и равна минус произведению моду- ля силы на плечо силы?

4. В каком случае проекция ненулевого момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z равна нулю?

5. Объясните разницу между утверждениями: тело находится в рав- новесии, тело находится в покое.

Примеры решения задач

Задача 5.1

К рукоятке гвоздодера приложена сила F = 150 H. Длина гвоздо- дера от основания до конца рукоятки L = 25 см, от гвоздя до боковой поверхности гвоздодера — l = 5 см. Определить силу, приложенную к

гвоздю.(Рассмотреть состоя- ние равновесия, силой тяже- сти гвоздодера пренебречь).

Дано: F = 150 H;

L = 25 см = 0,25 м;

Y

F

O

X

L Q

N

M

g

l

l = 5 см =�0, 05 м. Найти: Q.

O `

F тр O `

K K

Рассмотрим силы, прило- женные к гвоздодеру (рис. а

а б в

и б). В процессе выдергивания г�воздя на него возд�ействуют четыре объекта (тела): человек с силой F, гвоздь с силой K, Земля с силой

�

Mg и по�верхность, на которую опирается �гвоздодер, с силой реакции опоры N (нормальная составляющая) и F тр (горизонтальная состав-

ляющая). Так как (5.4) �

å Fi

i

= 0,

то второе уравнение равновесия твердого тела (5.6) можно записать относительно произвольной точки O'. Выберем ее, как показано на рисунке. Отметим, что все силы, приложенные к гвоздодеру, лежат в плоскости ХОY. Поэтому равенство (5.6) сводится к (5.10)

å M zi = 0,

i

которое имеет вид равенства (5.13). Рассчитаем проекции моментов всех сил, приложенных к гвоздодеру:

М тр = 0, MN = 0 – так как точка O' лежит на линии действия этих сил; MMg = 0 – так как по условиям задачи силой тяжести гвоздоде- ра можно пренебречь;

MF = FL – так как плечо силы�(перпендикуляр, опущенный из точ- ки O' на линию действия силы F) равно L, и сила вращает гвоздодер

относительно точки O' против часовой стрелки;

MK = – Kl – так как плечо силы (�перпендикуляр, опущенный из

точки O' на линию действия силы K) равно l, и сила вращает гвоз-

додер относительно точки O' по часовой стрелке.

Таким образом, получаем уравнение

MK + MF = 0 (1)

или

FL - Kl = 0. (2)

Выражая из этого уравнения силу K, имеем

K = F L. (3)

l

По третьему закону Ньютона сила, с которой гвоздь действует на гвоздодер равна по модулю силе, с которой гвоздодер действует на гвоздь (рис. в), т. е.

Q = K = F L. (4)

l

Таким образом, сила, с которой действует гвоздодер на гвоздь, тем больше, чем длиннее его ручка. Подставляя численные значе- ния, имеем

Q = 150 0, 25 = 750 Н. (5)

0, 05

Ответ: Q = F L = 750 Н.

l

Задача 5.2

На горизонтальной плоскости

в равновесии находится куб мас- N

сой m. Определить величину, на- C

правление и точку приложения к

g

x

кубу силы реакции опоры. О K

Дано: m. �

P = m

Найти: N.

Пусть нормальная составляющая силы реакции опоры

�

N при-

ложена в неизвестной точке поверхности куба K, соприкасающей- ся с опорой на расстоянии x от точки О. Запишем условия равнове-

сия (5.4) и (5.6). � �

N + P = 0, (1)

� �

MN + MP = 0. (2)

Из равенства нулю суммы двух векторов следует, что эти вектора равны по модулю и противоположны по направлению, т. е.

N = P = mg, (3)

MN = MP. (4)

Так как сумма сил, приложенных к телу, равна нулю (1), то для определения моментов сил выберем точку О например так, как по- казано на рисунке. Точка приложения силы тяжести (центр тяжести куба) находится в т. С — центре его симметрии. Следовательно, ли- ния ее действия проходит через точку О, и плечо силы тяжести отно- сительно этой точки равно нулю. Тогда

MP = 0 × P = 0. (5)

Плечо нормальной составляющей силы реакции опоры N по оп- ределению равно x. Тогда модуль момента силы

MN = x × N = xmg. (6)

Следуя (4), запишем

и

�

Следовательно, силы и

xmg = 0, (7)

x = 0. (8)

� лежат на одно прямой, т. е. точка О

N mg �

приложения силы реакции опоры N к кубу — точка пересечения го-

�

.

mg

ризонтальной поверхности линией действия силы �

�

Ответ: N = mg, N ­¯ mg. Точка приложения силы реакции опо- ры — пересечение горизонтальной поверхности и линии действия силы тяжести.

Задача 5.3

На наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, в покое находится цилиндр высотой H, радиусом окружности основа- ния R. Определить точку приложения к цилиндру силы реакции опо- ры и условие покоя цилиндра в зависимости от угла наклона плоско- сти a, если коэффициент трения о плоскость равен k.

Дано: R;� H; k. Найти: N, a.

Под нарушением покоя цилиндра на наклонной плоскости по- нимают два процесса: падение цилиндра на наклонную плоскость и

скольжение его вдоль н�аклонной плоскости�.

Пусть нормальная N и горизонтальная F тр — составляющие силы

реакции опоры приложены в произвольной точке поверхности ци-

Цилиндр

а

F тр

Z б в

линдра, соприкасающейся с опорой (наклонной плоскостью) на рас-

стоянии x от точки О. Запи�шем�усл�овия равновесия (5.4) и (5.6).

N + P + F тр = 0, (1)

� � �

MN + MP + M тр = 0. (2)

Найдем условия, когда цилиндр не падает на наклонную плос- кость. Так как все силы, приложенные к цилиндру, действуют в од- ной плоскости XOY, то векторное равенство (2) можно заменить на равенство проекций на ось z

MNz + MPz + M тр z = 0. (3)

Определим моменты всех сил, например относительно точки О. Это возможно, так как предполагается, что сумма сил, приложенный к телу, равна нулю. Тогда

MPz = 0, (4)

M тр z = 0. (5)

так как линии действия этих сил проходят через точку О (плечи сил равны нулю). Следовательно,

MNz + MPz + MNz = MNz = 0. (6)

Так как сила

�

N вращает тело относительно точки О против ча-

совой стрелки, то

MNz = N × x.

Тогда или

MNz = N · x = 0 (7)

x = 0. (8)

Следовательн�о, если тело находится в равновесии, то нормальная составляющая N силы реакции опоры всегда приложена к точке О —

точке пересечения линии действия силы тяжести с опорой (на�клон-

ной плоскостью). Следовательно, точка приложения силы N дви-

жется к краю цилиндра при увеличении угла наклона a. Это усло- вие определяет предельно возможное положение равновесия тела на

наклонной плоскости (рис. б). Если линия дейст�вия силы тяжести

выйдет за край тела (а точка приложения силы N по физическому

смыслу не может выйти за область соприкосновения тела с опорой), то тело обязательно перевернется, так как теперь проекции момен- тов всех сил относительно точки О равны (рис. в)

MNz = 0, M тр z = 0, MPz = mgx (9)

и

MNz + MPz + M тр z = MPz ¹ 0. (10)

Это означает, что цилиндр обязательно упадет вправо на наклон-

ную плоскость. Таким образом, максимально возможный угол на- клона плоскости к горизонту a0, когда тело еще находится в равно- весии (рис. б), равен

tga =

R =2 R

(11)

H

0 1

H

и 2

a = arctg 2 R. (12)

0 H

Найдем условия, когда цилиндр не скользит по наклонной плос- кости. Из (1) следует, что

Nx + Px + F тр x = 0, (13)

Ny + Py + F тр y = 0. (14)

Определяя проекции всех сил (рис. г) на соответствующие оси ко- ординат, получаем

Nx = 0, Px = mg sina, F тр x = – F тр, (15)

Nx = N, Py = – mg cosa, F тр y = 0. (16)

5.3. Поступательное движение твердого тела 287

Подставим (15) и (16) в (13) и (14). Тогда имеем

F тр– F тр = 0, (17)

N – mg cosa = 0. (18)

Пусть сила трения покоя достигает своего максимального значе- ния при некотором угле наклона a1, т. е. F тр = kN. Тогда выразим N из

(18) и подставим в F тр (17). Таким образом,

mg sina1 = F тр = kN = kmg cosa1

или

tga1 = k. (19)

Следовательно, равновесие цилиндра на наклонной плоскости на- рушается тогда, когда угол наклонной плоскости с горизонтом:

a > a0

= arctg 2 R (падение),

H

a > a1 = arctg(k) (скольжения).

Если 2 R < k, то при увеличении угла наклонной плоскости от нуля

H

цилиндр упадет на нее, если k <

2 R

2 R, то он поедет по наклонной плос-

H

кости. Если k =

H

, то одновременно упадет и поедет.

Ответ: тело находится в равновесии на наклонной плоскости, если

a £ min{arctg 2 R, arctg(k)}.

H

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману