Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления.(стр 378)

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

44. Метод неопределенных коэффициентов для решения неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Квазимногочлены. Зависимость частного решения неоднородного уравнения от вида правой части и значений корней характеристического уравнения.

Метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в тех случаях, когда функция f(x), стоящая в правой части этого уравнения, имеет один из двух "специальных" видов:

, (42)

где P_n(x) – многочлен степени n: P_n(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n–1 +….+ a_n–1 x+ a_n,

или

, (43)

где M и N – числа.

1) Если , то частное решение можно искать в виде:

(44)

где k₁, k₂ – корни характеристического уравнения, Q_n(x) – многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами, подлежащими определению, например,

, и т. д.

2) Если , то частное решение можноискать в виде:

(45)

где k₁, k₂ – корни характеристического уравнения, А и В – неизвестные постоянные, подлежащие определению.

Двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.

Пусть в замкнутой области D на плоскости Oxy задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i=1,n), площади которых обозначим через (рис.1). В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим интегральную сумму:

.

Определение двойного интеграла:

Предел при интегральных сумм , не зависящий от способа разбиения области D на части и от выбора в них точек , называется двойным интегралом от функции по области D. и обозначается .

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством . Если разбиение области D проводить прямыми параллельными координатным осям, то элемент площади ds=dxdy и двойной интеграл в декартовых координатах записывается в виде .

В этом случае функция называется интегрируемой в области D и обозначается , а область D называется областью интегрирования. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла:

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z=f(x,y)>0, снизу –замкнутой областью D плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью с образующей - параллельной оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 2). Такое тело называется цилиндрическим. Составим для функции интегральную сумму , при этом каждое слагаемое в интегральной сумме определяет объем элементарного параллелепипеда с основанием и высотой , т.е. . Тогда объем цилиндрического тела . Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры элементарных областей . Если число площадок неограниченно увеличивается ( ), а каждая площадка стягивается в точку, то за объем цилиндрического тела принимаем величину

.

Итак, геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции – объем цилиндрического тела. В частности, если считать , то численно значение двойного интеграла будет равно площади области D

.

 46. Замена переменных в двойном интеграле.

47. Применения двойного интеграла.

48. Тройной интеграл. Свойства, вычисление. Применение. (стр391)

49. Криволинейный интеграл первого рода. (стр402)

50. Криволинейный интеграл второго рода рода.(стр407)

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте