Комплексные числа в алгебраической форме. Геометрическое изображение комплексного числа. Действия над комплексными  числами в алгебраической форме.

↑

Стр 1 из 5Следующая ⇒

36. Комплексные числа в алгебраической форме. Геометрическое изображение комплексного числа. Действия над комплексными  числами в алгебраической форме.

 Алгебраической формой комплексного числа называется запись комплексного числа  z в виде z=x+iy , где x и y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению i² = - 1 .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и имеет обозначение x=Re z.

Число y называется мнимой частью комплексного числа z и имеет обозначение y=Imz .

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение. Суммой комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z₁ и z₂, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z₁ и z₂, то есть z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i.

Числа z₁ и z₂ называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z₁ + z₂ = z₂ + z₁.

2º. Ассоциативность: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃).

3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

 37. Комплексные числа в тригонометрической форме. Модуль и аргумент комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Тригонометрической формой комплексного числа z = 1 - iy, не равного нулю, называется запись z = r(cosф + isinф) где r = — модуль комплексного числа .

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + b·i обозначается |a + b·i|, а также буквой r. Из чертежа видно, что:

r= | a+b·i |=

a²+b²

Модуль действительного числа, совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + b·i и a - b·i имеют один и тотже модуль.

Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + b·i, называется аргументом комплексного числа a + b·i

Числа в тригонометрической форме не складывают и не вычитают.

Пусть z₁ = r₁(cos φ₁+isinφ₁) и z₂=r₂(cos φ₂+isinφ₂).

1. Произведение комплексных чисел вычисляется по формуле:

2. Частное комплексных чисел вычисляется по формуле:

 3. В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии