Формула Муавра. Возведение в степень. Извлечение корня.

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

 38. Формула Муавра. Возведение в степень. Извлечение корня.

При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

(a+ i b)²=

=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))²=

1.

= r²(cos(2φ)+ i·sin(2φ))

а также

(a+ i b)³=

=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))³=

2.

= r³(cos(3φ)+ i·sin(3φ))

и вообще

(a+ i b)ⁿ=

=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))ⁿ=

3.

= rⁿ(cos(nφ)+ i·sin(nφ))

Данная формула называется формулой Муавра. Она верна и для целого отрицательного значения n, а также для n = 0.

Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую Формулой Муавра:

(3.5)

Из нее следует, что Для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

39. Формулы Эйлера. Комплексные числа в показательной форме.

Если в z = x + iy положить х = 0, то для е ^z получим

е ^{i y} = cosy + i siny (2.8)

Это есть формула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. Заменяя в формуле Эйлера у на –у, получим:

е ^{–i y} = cosy – i siny.

Теперь, комбинируя е ^{i y} и е ^{–i y}, имеем:

Эти формулы также называются формулами Эйлера.

Представим комплексное число z = a + iв в тригонометрической форме

z = r(cosj + isinj ),где ; j = argz + 2pm, m = 0, ±1, ±2, . . . ;

если а > 0; если а < 0; argz = p /2 или –p /2 (3p /2)еслиа = 0. По формуле Эйлера cosj + i sinj = e ^ij и, следовательно, всякое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

z = |z| e ^ij = r e ^ij = r e ^{i (arg z + 2p m)}.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов