Линейные неоднородные уравнения, структура общего решения (с доказательством).

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

40. Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка. Однородное и неоднородное линейные уравнения, определения. Условие существования единственного решения задачи Коши. Линейные однородные уравнения, свойства их решений. Линейнонезависимые решения. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного уравнения (с доказательством).                 (параграф 49 стр 344)

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.

Определение.Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать .

Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) его n частных решений.
Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x).
Док-во. Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y_чо(x) этого уравнения содержится в формуле y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C₁, C₂, …, C_n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений
Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C₁, C₂, …, C_n и сравним её с функцией y_чо(x). Функции y(x) и y_чо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x₀, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y_чо(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + … + C_n y_n(x). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.
Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения.Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.
Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману