Замена переменной в определенном интеграле

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

1.3. Замена переменной в определенном интеграле

Замена переменных в определенном интеграле выполняется в основном аналогично замене переменных в неопределенном интеграле. Разница заключается в том, что при вычислении определенного интеграла возвращение к исходной переменной после нахождения первообразной не является обязательным. При этом возникает необходимость изменения пределов интегрирования.

Пусть выполняются следующие условия:

1) функция  непрерывна на отрезке ;

2) функция  непрерывна вместе со своей производной  на отрезке ;

3) , ;

4) функция  определена и непрерывна на отрезке , тогда  - формула замены переменной в определенном интеграле.

1.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции  и  дифференцируемы на отрезке , то

  - формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

1.5. Несобственные интегралы

1.5.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

(несобственные интегралы 1-го рода)

Пусть функция  определена и непрерывна при . Несобственным интегралом 1-го рода  называется , то есть = . Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, иначе интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются интегралы  и :

; .

Часто бывает достаточно только оценить сходимость или расходимость несобственного интеграла и оценить его значение.

Признак сравнения. Пусть  при . Тогда:

1) если интеграл  сходится, то сходится и интеграл ;

2) если интеграл  расходится, то расходится и интеграл .

Следствие. Пусть , ,  при любом  и существует конечный или бесконечный предел , тогда:

1) если  сходится и , то сходится и интеграл ;

2) если  расходится и , то расходится и интеграл ;

3) при  интегралы  и  сходятся и расходятся одновременно.

Замечание. При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией , ,  сходится при  и расходится при .

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии