Примеры на формулы сокращённого умножения.

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Начнём с самого простого — с прямого применения формул. Для разминки.)

Преобразовать в многочлен:

(5x+4y)²

Сразу видим квадрат скобок. А в скобках — сумму. Значит, работаем по самой первой формуле, вот этой:

Вспоминаем словесную формулировку: "Квадрат первого выражения…". За первое выражение у нас идёт 5x. Квадрат будет 25х². Вот и пишем:

(5x+4y)² = 25х²….

Идём дальше: "Плюс удвоенное произведение первого выражения на второе…". Удвоенное — это умножение на двойку. Первое выражение — это 5x, второе — это 4y. Продолжаем:

(5x+4y)² = 25х²+2∙5x∙4y….

"Плюс квадрат второго выражения." В роли второго выражения у нас 4y. Квадрат — это 16y². Получим:

(5x+4y)² = 25х²+2∙5x∙4y+16y²

Практически всё. Осталось "причесать" удвоенное произведение (перемножить 2∙5∙4) и получим окончательный ответ:

(5x+4y)² = 25х²+40xy+16y²

Это было разминочное задание. А теперь примерчик посерьёзнее.

Разложить на множители:

4x²–20x+25

Что, внушает? Опять смотрим на наш список. Но не на тот, что в начале урока (для умножения), а на второй, для разложения на множители. Вот на этот:

Тут, разумеется, нашего выражения нет. Ну и что? Здесь важно понимать, что под буквами a и b может скрываться всё что угодно — и числа, и другие буквы, и более сложные выражения. Поэтому смотрим на список и ищем похожую формулу. И зацепкой будут степени переменной.

В нашем выражении есть x² и просто x. Ясное дело, отбрасываем все формулы с кубами — у нас их явно нет. Далее выкидываем из рассмотрения формулу разности квадратов: там нет переменных в первой степени, только квадраты. А у нас — есть.

Остаются первые две формулы — квадрат суммы или квадрат разности. Уже проще, не так ли? Осталось сообразить, что в формуле квадрата суммы — только плюсы. А в нашем выражении в серединке стоит минус. Стало быть, похожая формула — это квадрат разности.

Но не факт, что квадрат разности сработает, совсем не факт… Наша задача — убедиться, что предложенное выражение 4x²–20x+25 точно соответствует квадрату разности. Только тогда у нас появится возможность записать и правую часть равенства (т.е. разложение на множители).

Для удобства я перепишу формулу и исходное выражение прямо одно под другим:

a²-2ab+b² = (a-b)²

4x²–20x+25 = ….

Надо выяснить, что скрывается под буквами a и b в нашем выражении. Начинаем по порядочку — с самого первого слагаемого. Допустим, a² — это 4x². Тогда чему равно само а? Какое выражение в квадрате даёт 4x²? Очевидно, что 2х. Тогда a=2x. Есть! Первое выражение нашли.

А что может скрываться под b². Ну, точно не 20х! Во-первых, икс уже в букве a сидит, а во-вторых, b² должно быть с плюсом. А 20х у нас с минусом. Значит, под b² скрывается число 25! Стало быть, b — это пятёрка!

Итого: a=2x, b=5

Всё? Можно записывать разложение? Пока нет.

Нужна последняя, контрольная проверка по выражению 20х. Надо убедиться, что наши 20х точно соответствуют удвоенному произведению 2ab.

Итак, затаив дыхание составляем удвоенное произведение первого и второго выражений:

2ab = 2∙2x∙5 = 20x

Ура! Совпало! Значит, наше выражение — это действительно квадрат разности 2х и 5. Вот теперь можно со спокойной душой записывать ответ:

4x²–20x+25 = (2х-5)²

Идея ясна? Сначала ищем в списке похожую формулу, а затем сверяем с ней выражение, предложенное в задании, на полное соответствие. Если повезло и всё совпало, то записываем ответ. Если не повезло, то, значит, раскладывать надо как-то иначе.

Это были самые простые примеры, для младшеньких. А теперь переместимся в старшие классы, с их синусами да логарифмами. Да-да, старшеньким формулы сокращённого умножения тоже бывают нужны!

Например, такое задание:

Упростить:

cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x

Вся мощь тригонометрии слабо помогает в этом примере. Только алгебра седьмого класса и спасает, да…

Конечно, это выражение сильно смахивает на квадрат разности. Вот и пробуем применить эту формулу к нашему выражению! Что будет скрываться под буквами a и b? Конечно же, cos²x и sin²x. Удвоенное произведение, ясен перец, будет 2cos²x∙sin²x, как, собственно, в нашем выражении и записано. Смело сворачиваем нашего монстра в квадрат разности по формуле:

cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x = (cos²x - sin²x)²

А вот теперь и тригонометрия в игру вступает! Что у нас в скобочках? У нас в скобочках косинус двойного угла!

cos²x - sin²x = cos2x

Вот вам и ответ:

cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x = cos²2x

Или такое задание:

Вычислить:

Пример не подарок, прямо скажем… Логарифмические формулы явно не катят, да и сами логарифмы ровно не считаются… Проверим на алгебру? Числитель явно намекает на применение формулы разности квадратов.

Вот этой: a²–b² = (a-b)(a+b)

В роли a и b у нас логарифмы. Ну и что? Это формулу никак не портит, ибо законы алгебры работают во всей математике. Смело заменяем числитель дроби на произведение скобок и пишем:

А вот теперь и логарифмические формулы заработали! В первых скобках (разность) получается lg4, который и сокращается благополучно со знаменателем. А во вторых скобках (сумма) будет lg100. Что по свойствам логарифмов есть 2.

Конечно, подобные примеры в этом уроке легко решаются. Но на практике, когда ученик глубоко погружён в синусы/косинусы да логарифмы, разложение на множители просто не приходит в голову…

Посему практический совет:

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману