Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

Полезная вещь первая — самая очевидная. Это быстрое (т.е. сокращённое) умножение многих алгебраических выражений без промежуточных выкладок. Меньше выкладок — меньше и ошибок. Но это не самая главная полезная вещь! А вот вторая.

Дело в том, что вся математика строится на преобразованиях выражений. Вся! От школьной до высшей. Сообразил, что, где и как преобразовать и упростить — решил пример. Не сообразил — увы, не решил. Есть, допустим, выражение (a-b)(a+b). Как его можно преобразовать? Да просто тупо перемножить скобки и привести подобные. Не вопрос.) А вот что делать с a²–b²? Чему это равняется? Попробуй, догадайся! Только знания и спасают, да…

Сравним два равенства:

(a-b)(a+b) = a²–b²

и

a²–b² = (a-b)(a+b)

Для математики эти два равенства абсолютно одинаковы. А вот для нас с вами — не совсем. Возьмём первую запись, слева направо:

(a-b)(a+b) = a²–b²

Это самое обычное умножение скобок, не более того. Никаких принципиально новых возможностей. А теперь возьмём второй вариант того же равенства, справа налево:

a²–b² = (a-b)(a+b)

А вот такая запись резко повышает уровень вашей математической культуры! Почему? Потому, что такая запись формулы, справа налево, — это разложение на множители! А разложение на множители — процедура поважнее простого умножения, да…) Сомневаетесь? Не надо. В соответствующей теме подробно расскажу.)

И такое разложение на множители имеет место быть во всех формулах сокращённого умножения! Почему? Давайте внимательно посмотрим на наш список. В левой части каждой формулы мы увидим перемножение скобок:

(a+b)² = (a+b)(a+b) =…

(a-b)² = (a-b)(a-b) = …

(a-b)(a+b) = …

(a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b) =…

и т.д.

Стало быть, левая часть каждой формулы разложена на множители, а вот правая часть — нет. Список, что приведён выше, — это, действительно, всего лишь сокращённое умножение. Но! Стоит только поменять местами левую и правую части каждой из формул, как тот же самый список становится формулами разложения на множители!

Для полного понимания перепишу этот список ещё разок, но справа налево. Вот так:

Такая обратная запись формул сокращённого умножения идеально подходит для разложения на множители многочленов, для сокращения алгебраических дробей и для решения самых разнообразных примеров. Но есть существенная проблема. Как их запомнить?

Запоминаем формулы сокращённого умножения! Секретные приёмы…

Начинаем с самого простого — запоминаем названия формул. Это совсем легко. Смотрим в таблицу и видим выражение (a+b)². Или квадрат скобок. А в скобках что? Правильно, сумма! Стало быть, выражение (a+b)² называется квадрат суммы. Аналогично, (a-b)² называется квадрат разности. Элементарно, Ватсон!

С выражениями (a+b)³ и (a-b)³ всё то же самое — куб суммы и куб разности соответственно.

А как назвать a²–b²? "Одно выражение в квадрате минус другое выражение в квадрате?" Точно, но слишком уж длинно. Зато разность квадратов — и точно, и кратко!

Надеюсь, что названия сумма кубов и разность кубов у вас уже не вызовут недоумения?

А вот теперь начинается самое сложное — запоминание самих формул, со всеми этими выражениями. К сожалению, здесь тот самый случай, когда без механической памяти не обойтись. Это огорчает.

Однако здесь у нас с вами тайные знания! Эти знания помогут вам побыстрее сориентироваться во всех этих скобках, плюсах/минусах, квадратах/кубах, сведя механическую зубрёжку к минимуму. Читаем дальше и вникаем.

Итак, начинаем с квадрата суммы:

Просто медитировать, сверля формулу взглядом, будет недостаточно. Для лучшего запоминания настоятельно рекомендую выучить (да-да, именно выучить!) словесную формулировку:

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США