Формулы дифференцирования сложных функций

Проверь себя!

б) Решите уравнение: (3cosx - 8)' = 0

Решение:

Пример 2.

Пример 4

Решите неравенство: (х³ -3х -14)'   ≤ 0

Решение:

(х³ -3х -14)'   ≤ 0,

3х² -3 ≤ 0, решаем  неравенство методом интервалов:

3х² – 3 = 0, 3х² = 3, х² = 1, х = -1 и х = 1.

+        _          +

  •                 •

-1                 1  

Ответ: [-1; 1]

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х⁸ – 8х на промежутке [0; 2].

Решение:

1. Нахожу производную: у' = (х⁸ – 8х) ' = 8х⁷-8.

2. Нахожу критические точки функции:

8х⁷-8 = 0, 8х⁷ = 8, х⁷ = 1, х = 1.

3. Проверяю, принадлежит ли критическая точка указанному промежутку: 1ϵ [0; 2].

4. Нахожу значения функции в критической точке и на концах промежутка:

у (1) = 1⁸ – 8•1= -7

у (0) = 0⁸ – 8•0 =0

у (2) = 2⁸ – 8•2 = 512 – 16 = 496.

5. Сравниваю: -7 < 0 < 496

Ответ:      max у(х) = у(2) = 496, 

            [0; 2]            

            min у(х) = у (1) = - 7.

           [0; 2]                                 

Общая схема исследования функции

1. Нахожу область определения функции: Д =

2. Исследую функцию на четность и нечетность: у(-х) =

3. Нахожу производную: у^'=

4. Нахожу критические точки функции: у^'=0 и решаю уравнение.

5. Нахожу экстремумы и интервалы монотонности функции методом интервалов.

6. Нахожу значения функции в критических точках и в дополнительных точках  для построения графика.

7. Составляю таблицу.

8. Строю график функции.

_________________________________________________________

Образец:  исследовать функцию и построить ее график: у = х³ -6х² -15х +2

Исследование:

1. Нахожу область определения функции: Д = (-∞;∞), так у – многочлен.

2. Исследую функцию на четность и нечетность:

у(-х) = (-х)³ – 6(-х)² – 15(-х) +2 = -х³ -6х² +15х +2- функция ни четная, ни нечетная.

3. Нахожу производную: у^'= (х³ -6х² -15х +2)'= 3х² -12х -15.

4. Нахожу критические точки функции: 3х² -12х – 15 = 0,делю каждое слагаемое на 3 и  решаю квадратное уравнение:

х² -4х - 5=0, Д = в² – 4ас= (-4)² -4•1•(-5) = 16 +20=36>0 (2 корня)

х₁ = (-в -√Д):2а = (4 – 6):2=-1, х₂ = (-в +√Д):2а = (4 + 6):2=5.

5. Нахожу экстремумы и интервалы монотонности функции методом интервалов:     +          -        +             у^'(о) < 0

                            -1               5

6.  Нахожу значения функции в критических точках и в дополнительных точках для построения графика     у_max (-1) = (-1)³ -6(-1)² -15 (-1) +2 = 10

  у_min (5) = (5)³ -6(5)² -15 (5) +2 = -98       доп. точка: х=0, у =2.