Теорема (условие существования неявной функции)

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Определение

Если для каждого значения x из некоторого промежутка существует одно значение y, при которых выполняется равенство , то говорят, что это равенство определяет неявную функцию одной переменной или функцию, заданную неявно.

Отметим, что не всякое равенство вида  определяет неявную функцию. Определить, задаёт ли выражение непрерывную неявную функцию, поможет следующая теорема:

Теорема (условие существования неявной функции)

Предположим, что

1. ;

2. функция  определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке  (то есть , );

3. при постоянном x функция  монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием y.

Тогда в некоторой окрестности точки  уравнение  определяет непрерывную функцию , причём .

Теорема

Пусть непрерывная функция y от x задаётся уравнением

,

точка  удовлетворяет этому уравнению, в некоторой окрестности этой точки существуют непрерывные частные производные  и , причём . Тогда функция y от x имеет производную в точке , которую можно найти по формуле

.

Пример

Найти производную неявной функции .

Решение

Здесь . Найдём частные производные  и .

, .

Окончательно получаем

.

Неявная функция двух переменных

Рассмотрим уравнение вида

.

Полагаем, что это уравнение задаёт функцию , то есть каждой паре значений  из области определения функции соответствует такое значение , что .

В этом случае мы аналогично предыдущему пункту, говорим о неявной функции z от x и y.

Для неявной функции двух переменных мы можем также написать формулы для нахождения частных производных:

, ,

если .

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов