Теорема (достаточное условие дифференцируемости)

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Теорема (достаточное условие дифференцируемости)

Если функция  имеет частные производные  и  в точке  и некоторой её окрестности, и эти производные непрерывны в точке , то функция дифференцируема.

Приращения независимых переменных  и  называются дифференциалами переменных x и y.

Обозначение: .

С учётом введённых обозначений запишем формулу для полного дифференциала функции :

.

Пример

Найти полный дифференциал и полное приращение функции  в точке  при , .

Решение

Полное приращение функции

.

Для нахождения полного дифференциала прежде всего вычислим частные производные:

, .

Тогда полный дифференциал

.

Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Замена полного приращения функции ее полным дифференциалом позволяет получить формулу приближенных вычислений.

Из того, что , имеем , а отсюда получаем

.

Пример

Вычислить приближенно .

Решение

Введем функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке .

Пусть . Тогда . Теперь представим  и . Так как , то , а . Вычислим частные производные  и  в точке . Получим  и .

Следовательно, приближенное значение функции равно

.

Неявные функции. Производные неявных функций

Неявная функция одной переменной

Рассмотрим функцию одной переменной. Предположим, что значения переменных x и y связаны соотношением

.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману