Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы были компланарны.

( ) = 0

Таким образом, Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

29) Уравнение прямой , проходящей через 2 точки А(х1;у1;z1) и В(х2;у2;z2), имеет вид х-х1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1

каноническое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора,коллинеарного этой прямой.

30) Э́ллипс — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причем
Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

31) Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Общее уравнение окружности записывается как:

или

где

Точка — центр окружности, — её радиус.

Уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:

32) Гипе́рбола — геометрическое место точек Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний до двух выделенных точек и (называемых фокусами) постоянно.

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

, где a — большая и b — малая полуоси.

33) Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки(называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

 Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.

34) Преобразование уравнения кривой второго порядка к простейшему виду достигается в общем случае 1) параллельным переносом координатной системы без изменения направления осей и 2) поворотом осей.

Если имеются две системы прямоугольных координат с разными началами, оси которых параллельны и одинаково направлены, то между координатами одной и той же точки в этих системах существует зависимость

где x, y - координаты точки в первоначальной системе координат, x₁, y₁ - ее координаты в новой системе координат, а x₀, y₀ - координаты нового начала O₁ в первоначальной системе координат.

Эти формулы позволяют определить первоначальные координаты точки x и y, если известны ее новые координаты и координаты нового начала в первоначальной системе координат.

Для обратного перехода от первоначальных к новым служат формулы

Если , не меняя начала координат, совершить поворот осей координат на угол Альфа, то система х=х’cosα-y’sinα,

                              Y=x’sinα+y’cosα

35) Метрическим пространством называется пара (X; ½), где X —

некоторое множество, а ½: X £ X ! R+ — функция расстояния (метрика), удовлетво-

ряющая следующим аксиомам (аксиомам расстояния):

1. для любых x; y 2 X ½(x; y) > 0, причем ½(x; y) = 0 тогда и только тогда, когда

x = y (неотрицательность);

2. для любых x; y 2 X ½(x; y) = ½(y; x) (симметричность);

3. для любых x; y; z 2 X ½(x; z) 6 ½(x; y) + ½(y; z) (неравенство треугольника).

Открытым шаром B(x0; r) в метрическом простран-

стве X называется совокупность точек x 2 X, удовлетворяющих условию р(x; x0) < r.

Замкнутым шаром B[x0; r] называется совокупность точек x принад. X, удовлетворяющих

условию р(x; x0) 6<= r.
36) Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка , соединяющего в пространстве точки и . Этот отрезок можно представить как

37) 38) Решение системы mлинейных неравенств с n неизвестными есть выпуклый многогранник или выпуклая многогранная область н- мерного пространства , получающаяся в результате пересечения всех полупространств, отвечающих неравенствам данной системы.

Теорема . Любой выпуклый многогранник совпадает с выпуклой оболочкой некоторой конечной системы точек. Эти точки называются вершинами данного много гранника. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней

40) Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица^[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры).

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

41) Действия над комплексными числами

• Сравнение

означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

• Вычитание

• Умножение

• Деление

42) Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликованаЭйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа:

Отметим, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте