Условие коллинеарности векторов

• Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Даны два вектора a (xa;ya) и b (xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x_ax_b + y_ay_b = 0.

• Векторы коллинеарны, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.
• Даны два вектора a (xa;ya) и b (xb;yb). Эти векторы коллинеарны, если x_a = x_b и y_a = y_b, где R.

4) Пусть задана система векторов а₁, а₂, а₃,…,а_л (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a₁а₁+a₂а₂+…+a_ла_л=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a₁, a₂,…, a_л=0 и ÎR.Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a_i¹0 (i=1,…,k)

Свойства

 Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

 Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

 Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

 Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

5) Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Приведем некоторые рассуждения, основываясь на этих определениях.

Рассмотрим пространство n-мерных векторов.

Покажем, что размерность этого пространства равна n.

Возьмем систему из n единичных векторов вида
Примем эти векторы в качестве строк матрицы А. В этом случае матрица А будет единичной матрицей размерности n на n. Ранг этой матрицы равен n (при необходимости смотрите статью ранг матрицы: определение, методы нахождения). Следовательно, система векторов линейно независима, причем к этой системе нельзя добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости. Так как число векторов в системе равно n, то размерность пространства n-мерных векторов равна n, а единичные векторы являются базисом этого пространства.

6) Ортогона́льная систе́ма элементов векторного пространства со скалярным произведением — такое подмножество векторов , что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

.Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .

7) Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии