Транспонирование и эрмитово сопряжение

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB)

Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число, комплексно сопряжённое к .

Транспонирование уже обсуждалось выше: если , то . Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

8) Определитель матрицы являетсямногочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно).

• Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.
• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
• Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. такжеформулу Бине-Коши).

9) Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

10),11) Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.Квадратная матрица

, определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:

(4.1) где — матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы A.
Матрица называется присоединенной матрицей по отношению к матрице A.
В самом деле, матрица существует при условии
. Надо показать, что она обратная к A, т.е. удовлетворяет двум условиям:

Докажем первое равенство. Согласно п.4 замечаний 2.3, из свойств определителя следует, что
. Поэтому

что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии матрица A имеет обратную

Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы A^(-1)существует еще одна обратная матрица
такая, что . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу A^(-1), получаем
. Отсюда , что противоречит предположению

. Следовательно, обратная матрица единственная.

12) Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;
• умножение любой строки матрицы на константу , ;
• прибавление к любой строке матрицы другой строки.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Метод Гаусса—ЖорданаВозьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману