С помощью матрицы алгебраических дополнений

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

  — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной.

13) Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Свойства

• Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы , тогда:
1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
2. любая строка (столбец) матрицы есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
• Следствия:

• Если ранг матрицы равен , то любые строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
• Если — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
• Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно .
• Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.
• Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

14) Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение . Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.

15) Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида

16) Исследовать неоднородную систему — это значит установить, является ли она совместной, и если является — найти выражение для общего решения системы.

17) Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевымопределителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевымопределителем

, где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

18) 19)   решением системы называется всякий вектор Х=(х1,х2…,хn), компоненты которого обращают каждое уравнение системы в верное равенство . Система уравнений имеющая хотя бы одно решение называется совместной . Метод Гаусса состоит в приведении системы к диаганальному виду путем последовательного искл.неизвестных с помощью элементарных преобразований:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;
• умножение любой строки матрицы на константу , ;
• прибавление к любой строке матрицы другой строки.

Опорным решением системы линейных уравнений называется базисное решение, не содержащее отрицательных компонентов . Опорные решения системы находятся методом Гаусса при выполнении следующих условий. 1. В исходной системе все свободные члены должны быть не отрицательными.2. В число базисных может быть введена только та переменная, в столбце коэфициентов при которой есть хотя бы один положительный элемент . 3. Если при переменной , вводимой в базис , имеются положительные коэффициенты в нескольких уравнениях, то переменная вводится в базис в то уравнение , которому соответствует наименьшее в столбце отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам.

20) Совместность линейных систем.

Определение 4.5. Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Определение 4.6. Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Назовем расширенной матрицей системы (2.2) матрицу вида

, а матрицей системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных.

Теорема 4.2 (теорема Кронекера-Капелли). Система (2.2) совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство.

1) Необходимость: пусть система (2.2) совместна и ее решение. Тогда

, то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора. Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, то есть

2) Достаточность: если то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации то эти числа будут решением системы (2.2), т.е. эта система совместна. Теорема доказана.

21) Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

22) Расстояние d между двумя точками ( , , ) и ( , , ) в пространстве определяется формулой

. Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками ( , , ) и ( , , ), в отношении , определяется по формулам

, , . В частности, при имеет координаты середины данного отрезка:

, , .

23) Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть на плоскости xOy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy.

 Положение этой прямой будем определять следующими двумя параметрами:

1)ординатой точки N пересечения прямой с осью Oy.

2)углом α, который прямая образует с положительным направлением оси Ox.

Построим вспомогательный треугольник MCN, в котором катет NC=x, CM=y-b.

Из треугольника: CM=NC⋅tg α, то есть y-b=x⋅tg α (1)

Введем обозначения tg α=k; k – угловой коэффициент прямой. Из (1) получим

                                   y=kx+b

– это уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b=0 и уравнение y=kx

Если прямая параллельна оси Ox, то α=0 и уравнение y=b.

Уравнение прямой, параллельной оси Oy, получается особо. Ясно, что оно: x=a.

2.Общее уравнение прямой.

Покажем, что всякое уравнение вида Ax+By+C=0 (2) является уравнением некоторой

прямой на плоскости.

1) пусть B≠0, тогда разрешая уравнение относительно y, получим y=-(A/B)x+(-C/B)

положим здесь –A/B=k; -C/B=b.

Тогда y=kx+b. Каково бы ни было числовое значение –A/B и –C/B всегда найдется такой угол α (0≤α<π,

α≠π/2), что tg α=k=-A/B и точка N на оси Oy, y=b=-C/B.

Итак, (2) определяет прямую.

2) B=0; A≠0, тогда уравнение имеет вид: Ax+C=0; x=-C/A. А это прямая, параллельная

оси Oy.

3)A=B=0, так как в этом случае уравнение не содержит ни x, ни y , то уравнение (2)

теряет смысл.

1) A=0, B≠0, By+C=0, y=-C/B – прямая параллельная оси Ox.

Итак, уравнение (2) – это общее уравнение прямой.

             y

             y                M(x; y) 

   N(O; b)            C(x; b)

          α

             O         x            x

25) Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁, y₁) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,

y - y₁ = k(x - x₁).

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x₁, y₁), которая называется центром пучка.

26) Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

27) Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,

A₂x + B₂y + C₂ = 0,

угол между ними определяется по формуле

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

      Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

28) Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии