Характерные задачи динамики механической

35.9(35.7)Ножницы для резки металла состоят из кривошипно–ползунного механизма ОАВ, к ползуну В которого прикреплен под­вижный нож. Неподвижный нож укреплен на фундаменте С. Определить давление фундамента на грунт, если длина кривошипа r, масса криво­шипа М₁, длина шатуна l, масса ползуна В с подвижным ножом М₂, масса фундамента С и корпуса D равна М₃. Массой шатуна пренебречь. Кривошип ОА, равномерно вращающийся с угловой скоростью ω, считать однородным стержнем. Указание. Выражение следует разложить в ряд и отбросить все члены ряда, содержащие отношение r/l в степени выше второй.

Ответ:                                                                                                    

35.10(35.10)Электрический мотор массы М₁ установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте; на валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длины 2l и массы М₂, на другой конец стержня насажен точечный груз массы M₃; угловая скорость вала равна w.

Определить: 1) Горизонтальное движение мотора; 2) наибольшее горизонтальное усилие R, действующее на болты, если ими будет закреплен кожух электромотора на фундаменте.

 Ответ:1)Гармонические колебания с амплитудой  и периодом ; 2)

35.17(35.18)На однородную призму А, лежащую на горизонтальной плоскости, положена однородная призма В; поперечные сечения призм – прямоугольные треугольники, масса призмы А втрое больше массы призмы В. Предполагая, что призмы и горизонтальная плоскость иде­ально гладкие, определить длину l, на которую передвинется призма А, когда призма В, спускаясь по А, дойдет до горизонтальной плос­кости.

Ответ: l =(а – b)/4.

35.19(35.20)Два груза М₁ и М₂ , соответственно массы М₁ и М₂, соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через блок А, скользят по гладким боковым сторонам прямоугольного клина, опирающегося основанием ВС на гладкую горизонтальную плоскость. Найти перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза М на высоту h =10 см. Масса клина М =4 М₁ =16 М₂; массой нити и блока пренебречь.

Ответ: Клин переместится вправо на 3,77 см.

35.20(35.21)Три груза массы М₁ =20 кг, М₂ =15 кг и М₃ =10 кг со­единены нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижные блоки L и N. При опускании груза М₁ вниз груз М₂ перемещается по верхнему основанию четырехугольной усеченной пирамиды ABCD массы М =100 кг вправо, а груз М₃ поднимается по боровой грани АВ вверх. Пренебре­гая трением между усеченной пирамидой ABCD и полом, определить пе­ремещение усеченной пирамиды ABCD относительно пола, если груз М₁ опустится вниз на 1 м. Массой нити пренебречь.

Ответ: Влево на 14 см.

35.21Подвижной поворотный кран для ремонта уличной электросети установлен на автомашине массы 1 т. Люлька K крана, укрепленная на стержне L, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. В начальный момент кран, занимавший горизонтальное положение, и автомашина находились в покое. Определить перемещение незаторможенной автомашины, если кран повернулся на 60°. Масса однородного стержня L длины 3 м равна 100 кг, а люльки K – 200 кг. Центр масс С люльки K отстоит от оси О на расстоянии ОС = 3,5 м. Сопротивлением движению пренебречь.

Ответ: Направо на 32,7 см                       

36.3(36.3)Определить главный вектор количеств движения маят­ника, состоящего из однородного стержня ОА массы М₁, длины 4r и однородного диска В массы М₂, радиуса r, если угловая скорость ма­ятника в данный момент равна ω.

Ответ: Главный вектор количеств движения направлен перпендику­лярно стержню ОА и по модулю равен (2 М₁ +5 М₂ )rω.

36.4(36.4)Определить модуль и направление главного вектора количеств движения механизма эллипсографа, если масса кривошипа равна М₁, масса линейки АВ эллипсографа равна 2М₁, масса каждой из муфт А и В равна М₂;

даны размеры: ОС = АС = СВ = l. Центры масс криво­шипа и линейки расположены в их серединах. Кривошип вращается с угловой скоростью ω.

Ответ: Модуль главного вектора равен ; направление главного вектора перпендикулярно кривошипу.

36.5(36.5)Определить главный вектор количеств движения цент­робежного регулятора, ускоренно вращающегося вокруг вертикальной оси. При этом углы φ изменяются по закону φ =φ (t) и верхние стер­жни, поворачиваясь, поднимают шары А и В. Длины стержней: ОА = ОВ = AD = BD = l. Центр масс муфты D массы М₂ лежит на оси z. Шары А и В считать точечными массами массы М₁ каждый. Массой стержней пренеб­речь. 

Ответ: Q_x = Q_y = 0, Q_z = –2(М₁ + М₂ )l φ sinφ , где Q – главный вектор количеств движения; плоскость yz совпадает с плоскостью расположе­ния стержней регулятора.

36.9(36.11)По горизонтальной платформе А, движущейся по инер­ции со скоростью υ₀, перемещается тележка В с постоянной относи­тельной скоростью u₀. В некоторый момент времени тележка была за­торможена. Определить общую скорость υ платформы с тележкой после ее остановки, если М – масса платформы, a m – масса тележки.

Ответ:

36.11(36.13)Из наконечника пожарного рукава с поперечным се­чением 16 см ² бьет струя воды под углом α =30º к горизонту со скоростью 8 м/с. Определить силу давления струи на вертикальную стену, пренебрегая действием силы тяжести на форму струи и считая, что частицы жидкости после встречи со стеною приобретут скорости, направленные вдоль стены.

Ответ: 88,8 Н.

36.12(36.14)Определить горизонтальную составляющую N возника­ющей при движении воды силы давления на опору колена трубы диамет­ра d =300 мм, по которой течет вода со скоростью υ =2 м/с.

Ответ: N =284 Н.

37.3(37.3)Вычислить главный момент количеств движения плане­тарной передачи относительно неподвижной оси z, совпадающей с осью вращения кривошипа ОС₃. Неподвижное колесо 1 и подвижное колесо 3 – одинакового радиуса r. Масса колеса 3 равна m. Колесо 2 массы m₂ имеет радиус r₂. Кривошип вращается с угловой скоростью, проекция которой на ось z равна ω_z. Массой кривошипа пренебречь. Колеса счи­тать однородными дисками.

Ответ: .

37.7(37.8)Твердое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом, равным М: при этом возникает момент сил сопротивления М₁, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твердого тела: М₁ = aw². Найти закон изменения угловой скорости; момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен J.

Ответ: где

37.9(37.10)Шарик А, находящийся в сосуде с жидкостью и прик­репленный к концу стержня АВ длины l, приводится во вращение вок­руг вертикальной оси О₁О₂ с начальной угловой скоростью ω₀. Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения: R = αmω , где m – масса шарика, α – коэффициент пропорциональности. Определить, через какой промежуток времени угловая скорость враще­ния станет в два раза меньше начальной, а также число оборотов n, которое сделает стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.

Ответ: , .

37.10(37.11)Определить с какой угловой скоростью w упадет на землю спиленное дерево массы М, если его центр масс С расположен на расстоянии h от основания, а силы сопротивления воздуха создают момент сопротивления m_c, причем , где a=const. Момент инерции дерева относительно оси z, совпадающей с осью, вокруг которой поворачивается дерево при падении равен J.

 Ответ:   

37.43(37.42)При пуске в ход электрической лебедки к барабану А приложен вращающий момент m_вр, пропорциональный времени, причем m_вр = at, где а – постоянная. Груз В массы М₁ поднимается посредст­вом каната, навитого на барабан А радиуса r и массы М₂. Определить угловую скорость барабана, считая его сплошным цилиндром. В на­чальный момент лебедка находилась в покое.

Ответ: .

37.44(37.44)Для определения момента инерции J махового колеса А радиуса R относительно оси, проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю В массы М₁ и наблюдали продолжительность Т₁ опускания гири с высоты h. Для иск­лючения трения в подшипниках проделали второй опыт с гирей массы М₂, причем продолжительность опускания оказалась равной Т₂ при прежней высоте. Считая момент силы трения постоянным и не завися­щим от массы гири, вычислить момент инерции J.

Ответ: .

37.46(37.36)Барабан А массы М₁ и радиуса r приводится во вра­щение посредством груза С массы М₂, привязанного к концу нерастяжи­мого троса. Трос переброшен через блок В и намотан на барабан А. К барабану А приложен момент сопротивления m_с, пропорциональный уг­ловой скорости барабана; коэффициент пропорциональности равен α. Определить угловую скорость барабана, если в начальный момент система находилась в покое. Массами каната и блока В пренебречь. Барабан считать сплошным однородным цилиндром.

Ответ: , где ; .

37.50(37.49)Через блок, массой которого пренебрегаем, переки­нут канат; за точку А каната ухватился человек, к точке В подвязан груз одинаковой массы с человеком. Что произойдет с грузом, если человек станет подниматься по канату со скоростью υ относительно каната ?

Ответ: Груз будет подниматься с канатом со скоростью υ/2.

37.56(37.56)Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться вокруг вертикальной оси АВ. Внутри трубки на расстоянии МС = а от оси находится шарик М. В некоторый момент времени трубке сообщается начальная угловая скорость ω₀. Определить угловую скорость ω трубки в момент, когда шарик вылетит из трубки. Момент инерции трубки от­носительно оси вращения равен J, L – ее длина; трением пренебречь, шарик считать материальной точкой массы m.

Ответ: .

37.58(37.58)Тележка поворотного подъемного  крана движется с постоянной скоростью u относительно стрелы. Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный m_o. Определить угловую скорость вращения крана в зависимости от расстояния тележки до оси вращения АВ, если масса тележки с грузом равна М, J – момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения; вращение начинается в момент, когда тележка находится на расстоянии x₀ от оси АВ.

Ответ:       

38.1(38.1)Вычислить кинетическую энергию плоского механизма, состоящего из трех стержней АВ, ВС и CD, прикрепленных цилиндри­ческими шарнирами А и D к потолку и соединенных между собой шарни­рами В и С. Масса каждого из стержней АВ и CD длины l равна М₁, масса стержня ВС равна М₂, причем   BC = AD. Стержни АВ и DC вращаются с угловой скоростью ω.

Ответ:

38.4(38.4)Вычислить кинетическую энергию гусеницы трактора, движущегося со скоростью u₀. Расстояние между осями колес равно l, радиусы колес равны r, масса одного погонного метра гусеничной цепи равна g.

Ответ:  

38.7(38.7)Планетарный механизм, расположенный в горизонталь­ной плоскости, приводится в движение кривошипом ОА, соединяющим оси трех одинаковых колес I, II и III. Колесо I неподвижно; криво­шип вращается с угловой скоростью ω. Масса каждого из колес равна М₁, радиус каждого из колес равен r, масса кривошипа равна М₂. Вы­числить кинетическую энергию механизма, считая колеса однородными дисками, а кривошип – однородным стержнем. Чему равна работа пары сил, приложенной к колесу III ?

Ответ: ; работа равна 0.

38.9(38.9)В кулисном механизме при качании рычага ОС вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун А, перемещаясь вдоль рычага ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К. Рычаг ОС длины R считать однородным стержнем с массою m₁, масса ползуна равна m₂, масса стержня АВ равна m₃, ОК = l. Выразить кинетическую энергию механизма в функции от угловой скорости и угла поворота рычага ОС. Ползун считать то­чечной массой.

Ответ: .

38.10(38.10)Вычислить кинетическую энергию системы, состоящей из двух колес, соединенных паровозным спарником АВ и стержнем О₁О₂, если оси колес движутся со скоростью u_{0 .} Масса каждого колеса равна М₁ . Спарник АВ и соединительный стержень О1О2 имеют одинаковую массу М2. Масса колес равномерно распределена по их ободам; О1А = О2В = r/2, где r – радиус колеса. Колеса катятся без скольжения по прямолинейному рельсу.

Ответ: .           

38.16(38.16)К концам гибкой нерастяжимой нити, переброшенной через ничтожно малый блок А, подвешены два груза. Груз массы М₁ мо­жет скользить вдоль гладкого вертикального стержня CD, отстоящего от оси блока на расстоянии а; центр тяжести этого груза в началь­ный момент находился на одном уровне с осью блока; под действием силы тяжести этот груз начинает опускаться без начальной скорости. Найти зависимость между скоростью первого груза и высотой его опускания h. Масса второго груза равна М.

Ответ: .

38.20(38.20)Транспортер приводится в движение из состояния покоя приводом, присоединенным к нижнему шкиву В. Привод сообщает этому шкиву постоянный вращающий момент М. Определить скорость ленты транспортера υ в зависимости от ее перемещения s, если масса поднимаемого груза А равна М₁, а шкивы В и С радиуса r и массы М₂ каждый представляют собой однородные круглые цилиндры. Лента транспортера, массой которой следует пренебречь, образует с гори­зонтом угол α. Скольжение ленты по шкивам отсутствует.

Ответ: .

38.24(38.24)На рисунке изображен подъемный механизм лебедки. Груз А массы М₁ поднимается посредством троса, переброшенного че­рез блок С и навитого на барабан В радиуса r и массы М₂. К бараба­ну приложен вращающий момент, который с момента включения пропор­ционален квадрату угла поворота φ барабана: m_вр = aφ², где a – постоянный коэффициент. Определить скорость груза А в момент, ког­да он поднимается на высоту h. Массу барабана считать равномерно распределенной по его ободу. Блок С – сплошной диск массы М₃. Мас­сой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в по­кое.

Ответ: .

38.30(38.31)ГрузА массы М₁, опускаясь вниз, при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок D. Поднимает вверх груз В массы М₂, прикрепленный к оси подвижного блока С. Блоки С и D считать однородными сплошными дисками массы М₃ каждый. Определить скорость груза А в момент, когда он опустился на высоту h. Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и силами сопротивления пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.

Ответ:            

38.31(38.32)К ведущему колесу – барабану А – снегоочистителя приложен постоянный вращающий момент m. Массу барабана А можно считать равномерно распределенной по его ободу. Суммарная масса снега D, щита В и всех прочих поступательно движущихся частей пос­тоянна и равна М₂. Коэффициент трения скольжения снега и щита о землю равен f, коэффициент трения качения барабана о землю равен f_к. Масса барабана равна М₁, его радиус r. Определить зависимость между путем s, пройденным щитом В снегоочистителя и модулем его скорости υ, если в начальный момент система находилась в покое.

Ответ: .

38.34(38.35)Стержень АВ длины 2а падает, скользя концом А по гладкому горизонтальному полу. В начальный момент стержень занимал вертикальное положение и находился в покое. Определить скорость центра масс стержня в зависимости от его высоты h над полом.

Ответ: .   

38.38(38.39)Постоянный вращающий момент L приложен к барабану ворота радиуса r и массы М₁. К концу А намотанного на барабан тро­са привязан груз массы М₂, который поднимается по наклонной плос­кости, расположенной под углом α к горизонту. Какую угловую ско­рость приобретет барабан ворота, повернувшись на угол φ? Коэффи­циент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен f. Мас­сой троса пренебречь, барабан считать однородным круглым цилинд­ром. В начальный момент система была в покое.

Ответ: .

38.40(38.41)К барабану борота радиуса r₁ и массы М₁ приложен постоянный вращающий момент L. К концу троса, намотанного на бара­бан, прикреплена ось С колеса массы М₂. Колесо катится без сколь­жения вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан, сделав n обо­ротов? Барабан и колесо считать однородными круглыми цилиндрами. В начальный момент система находилась в покое. Массой троса и тре­нием пренебречь.

Ответ:

38.44(38.45)К грузу А массы М₁ прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок D массы М₂ и намотанная на боковую поверх­ность цилиндрического катка В массы М₃. При движении груза А вниз по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту, вращается блок D, а каток В катится без скольжения вверх по нак­лонной плоскости, образующей с горизонтом угол β. Определить скорость груза А в зависимости пройденного им пути s, если в начальный момент система находилась в покое. Блок D и каток В считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и массой нити пренебречь.

Ответ: .