Короткие 3адачи  для подготовки К экзамену

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

         2. Динамика твёрдого тела

Твёрдое тело можно рассматривать как систему жестко связанных между собою материальных точек. Поступательное движение твердого тела, при котором все точки движутся одинаково и, следовательно, динамика системы сводится к динамике точки (центра масс)характеризует теорема о движении центра масс, положение которого определяется формулами

Для решения первой и второй задач динамики в этом случае необходимо составить систему диффе­ренциальных уравнений движения в координатной форме:

;      ;   

Вращательное движение твердого тела описываетсядифференциальным уравнением, которое выводится из теоремы об изменении кинетического момента системы и может быть записано в одной из следующих форм:

                                       ;

                                           ;

При интегрировании дифференциального уравнения в качестве начальных условий принимают : j = j₀, w = w₀.

                            3. Примеры решения  задач

Пример 1.

Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием силы F, изображенной на рисунке. Найти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент трения скольжения равен f, а F=5fP, где P – вес колеса. В начальный момент колесо находилось в покое

                                    Решение:

Применяем теорему о движении центра масс в проекции на ось

               при t=0 , XC=0 , .

Интегрируя, получим:

                                      .

Пример 2.

По горизонтальной товарной платформе длиной L=6 м и массой m ₂ =2700 кг, находившейся в начальный момент в покое, двое рабочих перекатывают тяжелую отливку из левого конца платформы в правый. В какую сторону и насколько переместится при этом платформа, если общая масса груза и рабочих равна

m₁ = 1800 кг? Силами сопротивления движению платформы пренебречь

                         Решение:

Применяем теорему о движении центра масс в проекции на ось Х:

Интегрируя уравнение при начальных нулевых условиях ( ), получим

Координата X_C определяется из соотношения

                               .

Отсюда для перемещений тел можно записать

                  ;

                                 Пример 3

Центр масс катящегося колеса движется по закону : . Масса колеса равна 2кг . Определить кинетическую энергию колеса при t = 1с.

                                         Решение:

Тело совершает плоское движение:

Вычислим кинематические характеристики: P ( мцс )

            ,  при t = 1 , V_C = 4м / с , w = V_C / R

Момент инерции диска:           

Ответ:

Пример 4.

Кривошип ОА и шатун АВ кривошипно-ползунного механизма составляют в рассматриваемый момент времени горизонтальную прямую. Кривошип ОА длиной 0,5м и массой 1кг равномерно вращается с угловой скоростью 2рад/с. Вычислить кинетическую энергию шатуна АВ для данного положения механизма.

                                         Решение:

Шатун АВсовершает плоское движение. Вычислим его кинематические характеристики: определим положение мгновенного центра скоростей, а также скорость центра масс (точки С) и угловую скорость.

Кинетическая энергия шатуна:

По теореме Гюйгенса вычислим момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс стержня АВ.

Подставим все в формулу кинетической энергии и проведем вычисления

Пример 5.

Кривошип ОА длиной 0,4 м вращается с угловой скоростью 10рад/с. Кривошипы ОА и О₁В одинаковы и параллельны. Моменты инерции их относительно осей вращения равны 0,1кг м². Масса шатуна АВ равна 5кг. Определить кинетическую энергию механизма.

                                Решение :

Кинетическая энергия системы тел:

Скорость ,следовательно, МЦСзвена АВлежит в бесконечности и w_АВ = 0.

Скорость центра масс шатуна

Пример 6.

Твердое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом, равным М ; при этом возникает момент сил сопротивления М₁ , пропорциональный угловой скорости вращения твердого тела: М₁=αּω . Найти закон изменения угловой скорости; момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен J .

                                           Решение:

Запишем уравнение вращательного движения тела через угловую скорость

Интегрируя, получим:

Замечание:

Дифференциальные уравнения плоского движения включают переносное поступательное движение центра масс и относительное вращательное движение твёрдого тела вокруг центра масс.

1.Рассчитать координату х центра масс механической системы, состоящей из трех материальных точек массами m=1кг каждая (Рис.5) 

2.Определить координату у центра масс механической системы в

задаче 21 (Рис.5).

3.Определить координату х центра масс механической системы, состоящей из двух

однородных стержней (Рис.6) массами m=2кг, m=4кг.

4.Определить координату у центра масс механической системы в задаче 23.

5.Рассчитать момент инерции относительно оси у механической системы, состоящей из трех материальных точек массами m=2кг каждая (Рис.5).

6.Рассчитать момент инерции относительно оси у механической системы, состоящей из двух однородных стержней (Рис.6) массами m_А =2кг, m_В =4кг.

7.Рассчитать координату х центра масс механической системы, состоящей из трех материальных точек (Рис.5) массами m_А =1кг, m_В =Зкг, m_С =4кг.

8.В задаче 27 рассчитать координату у центра масс механической системы

9.Рассчитать момент инерции относительно оси у механической системы, состоящей из трех материальных точек (Рис.5) массами m_А =1кг,

m_В =Зкг, m_С =4кг.

10.В задаче 29 рассчитать момент инерции механической системы относительно оси х

11.Изобразить внешние силы, действующие на колесо весом Р, движущееся по шероховатой поверхности под действием пары сил с моментом m_вр (Рис.7).

12.Изобразить внешние силы, действующие на колесо весом Р, движу­щееся по шероховатой поверхности под действием силы Р (Рис.8).

13.Чему равен главный вектор внешних сил, которые действуют на маховик, имеющий форму однородного круглого диска, вращающегося вокруг оси 00₁. (Рис.9)

14.Однородный круговой диск массой m катится по шероховатой поверхности (Рис.10). Написать выражение главного вектора внеш­них сил, приложенных к диску.

15.Однородный круговой диск весом Р движется по шероховатой поверхности под действием пары сил с моментом m_вр (Рис.7). Коэффициент трения колеса о поверхность f. Написать дифференциальное уравнение движения центра масс колеса.

16.Однородный круговой диск весом Р движется по шероховатой по­верхности под действием силы F=ЗР (Рис.8). Коэффициент трения колеса о поверхность f. Написать дифференциальное уравнение движения центра масс колеса.

17.В задаче 35 вычислить ускорение центра масс колеса (Рис.7).

18. В задаче 36 вычислить ускорение центра масс колеса (Рис.8).

19.Человек стоит в лодке, неподвижно расположенной на поверхности озера. Куда будет перемещаться лодка, если человек перейдет с кормы на нос лодки ? Ответ пояснить.

20.В каком направлении будет перемещаться незаторможенный грузовик- самосвал, находящийся в начальный момент в покое на горизонталь­ной дороге, если его кузов из горизонтального положения поднимается до вертикального? Сопротивлением движению пренебречь. Ответ пояснить.

21.Вычислить главный вектор количеств движений однородного прямо­линейного стержня АВ массой m=10кг (Рис.11)

22.Вычислить главный вектор количеств движений однородного прямо­линейного стержня длиной L и массой m=5кг (Рис.12)

23.Вычислить главный вектор количеств движений однородного цилиндра массой m=10 кг, центр масс которого движется со скоростью V_c=10м/с (Рис.10).

24.Вычислить главный вектор количеств движений однородного круго­вого цилиндра массой m=10кг, вращающегося со скоростью w=5 1/c (Рис.9).

25.Вычислить главный вектор количеств движений однородного прямо­линейного стержня АВ массой m=8кг (Рис.13), когда угол α=90°. Известны: ω=2 1/с, L=50см.

26.Вычислить главный вектор количеств движений однородного прямо­линейного стержня АВ массой m=8кг (Рис.13), когда угол j=0°. Дано: ω =2 1/о, L=50см.

27.Определить главный вектор количеств движений системы, состоящей из двух ползунов А и В и однородного стержня АВ в момент, когда ОА=ОВ. Известно: m_B=m_A=5кг, m_AB=10кг,V=5 м/с.(Рис.14).

28.Вычислить количество движения материальной точки М массой m=5кг (Рис.15), если известно: а=20см, ω =10 1/с, V=5 м/с.

29.Вычислить количество движения материальной точки М массой m=5кг(Рис.16) в момент, когда ОМ=1м. Дано: ω =2 1/с, V=8 м/с.

30.Постоянная по величине и направлению сила Р=20Н действует на тело в течение 5 сек. Вычислить импульс этой силы.

31.Материальная точка М массой m движется как указано на рисунке 15 Вычислить момент количества движения точки относительно этой оси.

32.Материальная точка М массой m движется как указано на рисунке 16 Вычислить момент количества движения точки относительно оси

вра­щения в момент, когда ОМ=а.

33. Груз В массой m_B=M₁ поднимается с помощью троса, наматывающегося на барабан А лебедки, вращающейся с угловой скоростью ω (Рис.17). Определить кинетический момент механической системы относительно оси вращения, считая барабан сплошным однородным цилиндром массой М₂.

34.Решить предыдущую задачу при условии, что масса барабана равно­мерно распределена по его ободу.

35.Сплошной однородный диск массой m₁ вращается с постоянной скоростью ω вокруг оси в точке О (Рис.18). В точке А диска на расстоянии ОА=а/2 расположена материальная точка массой m₂ которая движется радиально от центра со скоростьюV относительно диска. Рассчитать кинетический момент указанной механической системы относительно оси вращения.

36.Решить задачу 55 при условии, что точка А движется радиально к центру .

37.Решить задачу 55 при условии, что точка А движется перпендикулярно радиусу в сторону вращения диска.

38.Решить задачу 55 при условии, что точка А движется перпендику­лярно радиусу противоположно вращению диска.

39.Решить задачу 55 при условии, что V=0.

40.Твердое тело массой m вращается вокруг вертикальной оси под действием вращающего момента М_BP и момента сил сопротивления, пропорционального угловой скорости с коэффициентом пропорцио­нальности а. Записать дифференциальное уравнение вращения тела, если радиус инерции его относительно оси вращения равен р.

41.Рассчитать кинетическую энергию стержня АВ массой m, движущего­ся как показано на рисунке 11.

42.Рассчитать кинетическую энергию однородного прямолинейного стержня длиной L и массой m, движущегося, как показано на рисунке 12.

43.Сплошной однородный круговой цилиндр радиуса а и массой m катит­ся без скольжения по горизонтальной поверхности. Написать выражение кинетической энергии цилиндра, если его центр движется со скоростью V.

44.Решить задачу 63, если масса цилиндра равномерно распределена по его ободу.

45.Решить задачу 63, если поверхность наклонена под углом α к гори­зонту

46.Рассчитать кинетическую энергию механической системы, изображен­ной на рисунке 17, если m_A=M₁,m_B=M₂. Барабан считать однородным цилиндром, массой нити пренебречь.

47.Решить предыдущую задачу, если масса барабана равномерно распределена по его ободу.

48.Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси под действием па­ры сил с постоянным моментом Мвр. Определить угловое ускорение тела, если момент инерции его относительно оси вращения равен 1.

49.Для момента времени, изображенного на рисунке 19 рассчитать ки­нетическую энергию стержня АО₁ массой m, если ОА=1.

50.Для момента времени, изображенного на рисунке 19 рассчитать кине­тическую энергию цилиндра В массой m и равномерно распределенной вдоль обода колеса.

51. Колесо массой m, равномерно распределенной по его ободу, приво­дится во вращательное движение из состояния покоя с постоянным ускорением ε (Рис.20). Рассчитать кинетическую энергию колеса в момент времени t с начала движения.

52.Два одинаковых однородных круговых цилиндра движутся согласно рисунку 21. У какого из них кинетическая энергия будет больше, если цилиндр а) катится без проскальзывания?

53.Два одинаковых однородных цилиндра катятся без проскальзывания согласно рисунку 22. Как соотносятся между собой их кинетичес­кие энергии? 

54.Тело массой m скользит вниз по шероховатой плоскости с коэффициентом трения скольжения, равным f (Рис.23). Рассчитать работу силы тяжести тела на перемещении, равном S.

55.В задаче 54 рассчитать работу силы трения-скольжения, действую­щей на тело, если коэффициент трения скольжения f,

56.В задаче 54 рассчитать работу нормальной реакции, действующей на тело.

57.Однородный круговой цилиндр катится без проскальзывания по гори­зонтальной плоскости с коэффициентом трения качения, равным k (Рис.24). Рассчитать работу момента трения качения на перемеще­нии S.

58.В задаче 57 рассчитать работу силы тяжести тела.

59.В задаче 57 рассчитать работу силы трения скольжения, действую­щей на тело.                

60.Тело движется по горизонтальной плоскости под действием постоян­ной силы F (Рис.25). Определить работу этой силы на перемещении S.

61.Материальная точка М переместилась по замкнутому контуру С и вернулась в начальное положение (точка О на Рис.26). Чему равна работа силы тяжести? Дать пояснения.

62.Чему равна работа кориолисовой силы инерции в относительном движении точки? Дать пояснения.

63.Под действием постоянного вращающего момента М_BP=const барабан лебедки В совершил n оборотов (Рис.27). Рассчитать работу, совершенную вращающим моментом.

64.В задаче 63 (Рис.27) рассчитать работу силы тяжести груза А массой m_A=m.

65.Тело массой m, двигаясь по гладкой плоскости под действием постоянной силы F=соnst, проходит путь S (Рис.25) из состояния покоя. Как изменится конечная скорость груза, если масса груза увеличится в два раза?.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману