Оценка доли элементов совокупности, обладающих

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Оценка доли элементов совокупности, обладающих

некоторым признаком

Пусть генеральная совокупность состоит из N элементов, из которых D элементов обладают некоторым признаком. Отношение  определяет долю элементов, обладающих данным признаком в генеральной совокупности. Несмещенной и состоятельной оценкой р по выборке объема n будет относительная частота , где х – число элементов, обладающих данным свойством в выборке объема n.

Введем дискретную случайную величину Х – число элементов, обладающих данным свойством среди элементов выборки объема n. Эта ДСВ имеет гипергеометрическое распределение вероятностей: , где N³ n > 0, N – D > 0, x = 0, 1, … , n. Здесь  - число сочетаний по k элементов из n.

Если N и N – D велики по сравнению с n, то можно считать, что значение  при последовательном отборе элементов выборки не изменяется и ДСВ Х будет иметь биноминальное распределение , x = 0, 1, … , n. В этом случае задача оценки сводится к оцениванию параметра р для биноминального распределения. На основании центральной предельной теоремы статистика h имеет асимптотически (при n ® ¥ ) нормальное распределение
h ~ , где q = 1 – p.

Пусть g = 1 - a - заданная доверительная вероятность. Рассмотрим статистику , которая имеет при
n ® ¥ асимптотически стандартное нормальное распределение  независимо от значения р. При больших значениях n тогда имеем:

,

где  - квантиль стандартного нормального распределения . Отсюда получаем, что с вероятностью g = 1 - a выполняется неравенство

.

Заменяя значения p и q их оценками  и , получаем приближенно границы доверительного интервала для доли элементов совокупности, обладающих данным признаком:

.

Порядок выполнения работы

Построить доверительные интервалы с доверительной вероятностью g = 0,95 для:

- математического ожидания выборки 1 при известном и неизвестном s;

- дисперсии выборки 1;

- среднего квадратического отклонения выборки 1;

- разности средних выборок 1 и 2 при известных и неизвестных s;

- доли элементов совокупности выборки 1, обладающих признаком  x_i < /2.

Выборку 1 сформировать по номеру 2, а выборку 2 – по номеру 3.

Расчет будем проводить в новой книге Интервальное оценивание на рабочем листе Лист1. Формирование выборок производится с помощью программы, написанной на Visual Basic for Applications (VBA), реализованной в файле 1-Выборочный метод. На листе Исходный в ячейку С3 вводим номер варианта С3="2" и нажимаем кнопку Ввод варианта. В рассматриваемом примере сформирована выборка объема 197 вариант. Вид листа Исходный показан на следующем рисунке.

Копируем эту выборку. В рассматриваемом примере это диапазон ячеек А8:В206 и вставляем его в ячейку А1 на рабочий лист Лист1книги Интервальное оценивание. В ячейке А1 корректируем название А1="Выборка 1".

Формируем выборку 2. На листе Исходный книги 1-Выборочный метод в ячейку С3 вводим номер варианта С3="3" и нажимаем кнопку Ввод варианта. В рассматриваемом примере сформирована выборка объема 193 варианты. Копируем эту выборку. В рассматриваемом примере это диапазон ячеек А8:В202 и вставляем его в ячейку Е1 на рабочий лист Лист1книги Интервальное оценивание. В ячейке Е1 корректируем название Е1="Выборка 2". За скопированными выборками размещаем значения их точечных оценок. В рассматриваемом примере в диапазонах А200:А202и Е196:Е198размещаются заголовки точечных характеристик, а в диапазонах В200:В202и F196:F198 – их значения.

Вычисляются точечные оценки выборок с помощью встроенных функций:

выборочное среднее Х_ср = СРЗНАЧ(диапазон),

выборочная дисперсия s² = ДИСП(диапазон),

выборочное стандартное отклонение s = СТАНДОТКЛОН(диапазон).

Для рассматриваемого примера для выборки 1 параметр диапазон равен диапазону ячеек B3:B199, а для выборки 2 параметр диапазон равен диапазону ячеек F3:F195.

Таким образом, в ячейках В200:В202 размещены точечные оценки выборки 1: Х_ср = 5,1347; s² =8,5477; s =2,9236. В ячейках F196:F198 размещены точечные оценки выборки 2: Х_ср = 5,5044; s² =13,93791; s =3,73335.

Для вычисления доверительного интервала для доли элементов совокупности выборки 1, обладающих признаком  x_i < M(X)/2, введем величину d_i для каждой варианты i выборки 1 по следующему правилу:

.

Результаты вычисления величины d_i для каждой варианты i выборки 1 представим в столбце С. Для этого в ячейку С3 введем встроенную логическую функцию
ЕСЛИ(Лог_выражение; Значение_если_истина; Значение_если_ложь). В рассматриваемом примере параметры равны Лог_выражение=В3<$B$200/2; Значение_если_истина=1; Значение_если_ложь=0. Протягиваем веденную формулу на всю выборку, в данном примере на диапазон С3:С199. Вид листа Лист1 показан на следующем рисунке.

Вычисляем доверительный интервал для математического ожидания выборки 1 при известном s=3 по формуле:

.

Объем n выборки 1 в данном примере задан в ячейке А199. Задаем исходные данные: среднее квадратическое отклонение s(Х)=3 в ячейку D205 и доверительную вероятность g = 0,95 в ячейку А206. Квантиль нормального нормированного распределения вычислим с помощью встроенной функции в ячейке А207:

=НОРМСТОБР(Вероятность).

Параметр Вероятность= =(1+А206)/2.

Полуширина доверительного интервала  вычисляется в ячейке А208="=А207*D205/КОРЕНЬ(А199)". Левая граница доверительного интервала Х_ср-d вычисляется в ячейке А209="=В200-А208". Правая граница доверительного интервала Х_ср+d вычисляется в ячейке А210="=В200+А208". Вид рабочего листа Лист1 с данными вычислениями показан на следующем рисунке.

Вычисляем доверительный интервал для математического ожидания выборки 1 при неизвестном s по формуле:

.

Объем n выборки 1 задан в ячейке А199. Задаем доверительную вероятность g = 0,95 в ячейку I206. Квантиль распределения Стьюдента вычислим с помощью встроенной функции в ячейке I207:

=СТЬЮДРАСПОБР(Вероятность; Степени_свободы).

Параметр Вероятность=1 - g = 1-I206, параметр Степени_свободы= n -1 = А199-1.

Полуширина доверительного интервала  вычисляется в ячейке I208="=I207*B202/КОРЕНЬ(А199)". Левая граница доверительного интервала Х_ср-d вычисляется в ячейке I209="=В200-I208". Правая граница доверительного интервала Х_ср+d вычисляется в ячейке I210="=В200+I208". Вид рабочего листа Лист1 с данными вычислениями показан
на следующем рисунке.

Вычисляем доверительный интервал для дисперсии выборки 1 по формуле:

.

Задаем доверительную вероятность g = 0,95 в ячейку А213. Левый квантиль распределения c² вычислим с помощью встроенной функции в ячейке А214:

=ХИ2ОБР(Вероятность; Степени_свободы).

Параметр Вероятность= =(1-А213)/2; параметр Степени_свободы= n -1 = А199-1.

Правый квантиль распределения c² вычислим с помощью той же встроенной функции в ячейке А215:

=ХИ2ОБР(Вероятность; Степени_свободы).

Параметр Вероятность= =(1+А213)/2; параметр Степени_свободы= n -1 = А199-1.

Левая граница доверительного интервала  вычисляется в ячейке А216="=(А199-1)*В201/А214". Правая граница доверительного интервала  вычисляется в ячейке А217="=(А199-1)*В201/А215". Вид рабочего листа Лист1 с данными вычислениями показан на следующем рисунке.

Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения вычисляются на основании соотношения
 и соответствуют формуле:

.

Левая граница доверительного интервала вычисляется в ячейке А220="=КОРЕНЬ(А216)", а правая граница – в ячейке А221="=КОРЕНЬ(А217)".Вид рабочего листа Лист1 с данными вычислениями показан на следующем рисунке.

Вычисляем доверительный интервал для разности средних двух выборок при известных средних квадратических отклонениях. В рассматриваемом примере для выборки 1 s₁=s(X)=3 и находится в ячейке D224, а для выборки 2 - s₂=s(Y)=4 и находится в ячейке D225. Объем выборки 1 в данном примере находится в ячейке А199 и равен n₁=197, а объем выборки 2 находится в ячейке Е195 и равен n₂=193. Средние выборок ранее вычислены и находятся для выборки 1 в ячейке В200и равны Х_ср= =5,1347, а для выборки 2 - в ячейке F196и равны Y_ср= =5,5044. Доверительный интервал вычисляется по формуле:

Задаем доверительную вероятность g = 0,95 в ячейку А226. Вычисляем квантиль нормального нормированного распределения в ячейке А227 с помощью встроенной функции:

= НОРМСТОБР(Вероятность).

Параметр Вероятность= =(1+А226)/2.

Дисперсия разности  вычисляется в ячейке А228="=D224^2/A199+D225^2/E195". Полуширина доверительного интервала  вычисляется в ячейке А229="=А227*КОРЕНЬ(А228)". Разность средних
Х_ср - Y_ср=  вычисляется в ячейке А230="=B200-F196".

Левая граница доверительного интервала  вычисляется в ячейке А231="=A230-A229". Правая граница доверительного интервала  вычисляется в ячейке А232="=A230+A229". Вид рабочего листа Лист1 с данными вычислениями показан на следующем рисунке.

Вычисляем доверительный интервал для разности средних двух выборок при неизвестных средних квадратических отклонениях s(X) и s(Y) по формуле:

В качестве оценок дисперсий используем выборочные дисперсии: для выборки 1 =8,5477 из ячейки В201, а для выборки 2 =13,93791 из ячейки F197.Задаем доверительную вероятность g = 0,95 в ячейку I226. Вычисляем квантиль распределения Стьюдента в ячейке I227 с помощью встроенной функции:

=СТЬЮДРАСПОБР(Вероятность; Степени_свободы).

Параметр Вероятность=1 - g = 1-I226, параметр Степени_свободы= n₁+n₂ -2= А199+E195-2.

Вычисляем общую оценку дисперсий выборок  в ячейке I228="=((A199-1)*B201+(E195-1)*F197)/(A199+E195-2)". Вычисляем полуширину доверительного интервала  в ячейке I229="=I227*КОРЕНЬ(I228)*КОРЕНЬ(1/A199+1/E195)". Разность средних Х_ср - Y_ср=  вычисляется в ячейке I230="=B200-F196".

 Левая граница доверительного интервала  вычисляется в ячейке I231="=I230-I229". Правая граница доверительного интервала  вычисляется в ячейке I232="=I230+I229". Вид рабочего листа Лист1 с данными вычислениями показан на следующем рисунке.

Построим доверительный интервал для доли элементов совокупности выборки 1, обладающих признаком  x_i < /2, по формуле:

.

Задаем доверительную вероятность g = 0,95 в ячейку А235. Вычисляем относительную частоту рассматриваемого признака в выборке , где . Объем выборки 1 в данном примере находится в ячейке А199 и равен n=197. Таким образом, относительную частоту h определяем в ячейке А236="=СУММ(C3:C199)/A199". Квантиль нормального нормированного распределения вычислим с помощью встроенной функции в ячейке А237:

=НОРМСТОБР(Вероятность).

Параметр Вероятность= =(1+А235)/2.

Вычисляем полуширину доверительного интервала  в ячейке А238="=A237*
КОРЕНЬ(A236*(1-A236)/A199)".

Левая граница доверительного интервала h - d вычисляется в ячейке А239="=A236-A238". Правая граница доверительного интервала h + d вычисляется в ячейке А240="=A236+A238". Вид рабочего листа Лист1 с данными вычислениями показан на следующем рисунке.

Варианты

Построить доверительные интервалы с доверительной вероятностью g  для:

- математического ожидания выборки 1 при известном и неизвестном s;

- дисперсии выборки 1;

- среднего квадратического отклонения выборки 1;

- разности средних выборок 1 и 2 при известных и неизвестных s;

- доли элементов совокупности выборки 1, обладающих признаком  x_i < M(X)/m.

Выборки сформировать по заданным номерам с помощью программы файла 1-Выборочный метод.

1. Выборка 1 - № 2, выборка 2 - № 3.

s(Х) = 3; s(Y) = 4; g = 0,95; m = 2.

2. Выборка 1 - № 4, выборка 2 - № 5.

s(Х) = 2; s(Y) = 2; g = 0,96; m = 1,5.

3. Выборка 1 - № 6, выборка 2 - № 7.

s(Х) = 4; s(Y) = 1; g = 0,97; m = 1,5.

4. Выборка 1 - № 10, выборка 2 - № 11.

s(Х) = 5; s(Y) = 3; g = 0,96; m = 2.

6. Выборка 1 - № 13, выборка 2 - № 14.

s(Х) = 3; s(Y) = 4; g = 0,95; m = 2.

7. Выборка 1 - № 15, выборка 2 - № 16.

s(Х) = 2; s(Y) = 4; g = 0,94; m = 2.

8. Выборка 1 - № 18, выборка 2 - № 19.

s(Х) = 2; s(Y) = 3; g = 0,93; m = 1,5.

9. Выборка 1 - № 20, выборка 2 - № 21.

s(Х) = 2; s(Y) = 3; g = 0,94; m = 1,5.

10. Выборка 1 - № 22, выборка 2 - № 24.

s(Х) = 4; s(Y) = 4; g = 0,94; m = 1,5.

11. Выборка 1 - № 25, выборка 2 - № 26.

s(Х) = 3; s(Y) = 2; g = 0,95; m = 2.

12. Выборка 1 - № 27, выборка 2 - № 28.

s(Х) = 3; s(Y) = 4; g = 0,95; m = 2.

13. Выборка 1 - № 29, выборка 2 - № 30.

s(Х) = 3; s(Y) = 2; g = 0,96; m = 1,5.

14. Выборка 1 - № 31, выборка 2 - № 32.

s(Х) = 3; s(Y) = 4; g = 0,96; m = 1,5.

15. Выборка 1 - № 33, выборка 2 - № 34.

s(Х) = 3; s(Y) = 4; g = 0,97; m = 2.

16. Выборка 1 - № 35, выборка 2 - № 36.

s(Х) = 3; s(Y) = 2; g = 0,97; m = 2.

17. Выборка 1 - № 37, выборка 2 - № 38.

s(Х) = 2; s(Y) = 3; g = 0,98; m = 1,5.

18. Выборка 1 - № 39, выборка 2 - № 40.

s(Х) = 4; s(Y) = 3; g = 0,98; m = 1,5.

19. Выборка 1 - № 41, выборка 2 - № 42.

s(Х) = 4; s(Y) = 3; g = 0,97; m = 2.

20. Выборка 1 - № 43, выборка 2 - № 44.

s(Х) = 3; s(Y) = 2; g = 0,97; m = 2.

21. Выборка 1 - № 45, выборка 2 - № 46.

s(Х) = 2; s(Y) = 3; g = 0,96; m = 1,5.

22. Выборка 1 - № 48, выборка 2 - № 50.

s(Х) = 3; s(Y) = 3; g = 0,96; m = 1,5.

23. Выборка 1 - № 51, выборка 2 - № 53.

s(Х) = 4; s(Y) = 4; g = 0,95; m = 2,5.

24. Выборка 1 - № 54, выборка 2 - № 56.

s(Х) = 3; s(Y) = 3; g = 0,95; m = 2,5.

25. Выборка 1 - № 57, выборка 2 - № 58.

s(Х) = 2; s(Y) = 3; g = 0,96; m = 3.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии