Практическое занятие №6. Отображения и отношения

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

Элементы теории

Пусть X и Y - два множества. Если каждому элементу x множества X поставлен в соответствие некоторый элемент f(x) множества Y, то говорят, что задано отображение f из множества X в множество Y.   Обозначение: f: X ® Y.

При этом, если   f(x) = y, то элемент y называется образом элемента x при отображении f, а элемент x называется прообразом элемента y при обратном отображении f ^-1.

Отображение f: X ® Y является сюръективным, если каждый элемент yÎY имеет хотя бы один прообраз.

Отображение f: X ® Y называется инъективным, если для любого элемента yÎY существует не более одного прообраза. Если отображение f сюръективно и инъективно одновременно, то оно называется биективным (взаимно однозначным соответствием).

Пусть f: X ® Y и g: Y ® Z - два отображения. Зададим правило h, применение которого к элементу x из X состоит в том, что мы применяем к x правило f, затем к результату f(x) применяем второе правило g, получая в итоге g(f(x)). То есть h(x) = g(f(x)). Полученное отображение h: X ® Z называют композицией отображений g и f и обозначают h = g ° f. Тогда g ° f(x) = g(f(x)).

Декартово произведение двух множеств А и В - множество упорядоченных пар <a, b> таких, что aÎA и bÎB. Мощность декартова произведения равна произведению мощностей исходных множеств.

Бинарное отношение множеств А и В - подмножество декартового произведения А на В. Область определения отношения (левая область отношения) - множество всех первых элементов пар отношения. Область значений отношения (правая область отношения) - множество всех вторых элементов пар отношения.

Рефлексивное отношение на множестве А - отношение, которое справедливо для каждого элемента множества А как отношение этого элемента к самому себе. Например =, ³ - рефлексивные, ¹, > - нерефлексивные.

Симметричное отношение - отношение, результат которого не меняется при перестановке операндов.

Транзитивное отношение на множестве А - такое отношение, из справедливости которого для первого и второго операнда и справедливости для второго и третьего операнда следует справедливость этого отношения для первого и третьего операндов, при условии, что все операнды являются любыми элементами множества А.

Отношение эквивалентности - отношение, являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным.    

Класс эквивалентности R - набор элементов множества, для которых эквивалентное отношение R будет давать одинаковый результат.

Примеры выполнения заданий

2. Выясните, к какому типу относится заданное отображение f:

A = {a, b, c}; B = {2, 4, 6, 8}; f: a ® 2; b ® 4; b ® 6; c ® 8;  

Решение: находим образы: y = f (x):   f (a) = 2; f (b) = {4, 6}; f (c) =8

Находим прообразы: x = f ^--1 (y): f ^-1 (2) = a; f ^-1 (4) = b; f ^-1 (6) = b; f ^-1 (8) = c;

Все элементы В имеют прообразы, значит f – сюрьективно.

Т.к элементы 4 и 6 имеют равные прообразы, то f – неинъективно,

 Следовательно, заданное отображение не является биективным.

3. Пусть f: {1,2,3,5} ® {0,1,2}, g: {0,1,2} ® {3,7,9,13}, h: {3,7,9,13} ® {1,2,3,5} – отображения, показанные на рисунке:

Нарисуйте композиции отображений:

а) g(f); б) h(g); в) h(f (g));

Решение:

4.Установите биективное отображение между множеством
A={1, 6, 11, 16, 21,...} и натуральным рядом чисел.

Решение: поставим в соответствие элементу натурального ряда "n" n↔1+5(n-1), т.е. a_n=1+5(n-1) ÎA

Задания для самостоятельного выполнения

1. Для отображения f: {10,20,30,40} ® {а,б,в,г}, заданного рисунком, найдите f({10,40}), f({10,20,30}), f - 1(б), f - 1 ({а,в}), f - 1 ({б,в,г}).

2.Найдите декартово произведение множеств С = А ´ В:

3. Вычислите мощность множеств:

4. Пусть A = {1, 2, 3}. Установите, является ли каждое из приведенных ни­же отношений R, заданных на множестве А, отношением эквивалентности.

а) R₁ = {(2,2), (1,1), (1,2)};

б) R₂ = {(1,1), (2,2), (3,3)};

в) R₃= {(1,1), (2,2), (3, 3), (1,2), (2,1), (3,1), (1, 3),(3,2),(2,3)};

г) R₄ = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(3,2),(2,1)};

д) R₅ = {(1,1),(1,2),(3,3),(2,2),(3,2),(2,3),(2,1)};

е) R₆ = {(1,1),(1,3),(2,3),(1,2),(3,2),(2,1)};

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте