Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении
Похожие статьи вашей тематики
Пусть теперь остаётся неизвестным как значение математического ожидания некоторого параметра генеральной совокупности  , так и значение его дисперсии  в этой генеральной совокупности. Но, как и ранее, нам необходимо найти значение математического ожидания этого параметра генеральной совокупности .
Как и ранее, предполагаем, что значения этого параметра в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Это не всегда легко проверить. Часто для проверки используются те или иные варианты законов больших чисел. Обычно, например, распределения, близкие к нормальным получаются в ситуациях действия многих относительно слабых и независимых факторов, которые могут определить значение этого параметра в генеральной совокупности.
Напомним, что существует несмещённая оценка стандартного квадратичного отклонения значений рассматриваемого параметра генеральной совокупности, и такой оценкой является величина  .
Построим новую случайную величину  . Можно доказать, что эта случайная величина  имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы. Значения этой случайной величины будем обозначать через  .
К распределению Стьюдента целесообразно перейти потому, что как доказывается оно не зависит от неизвестных нам параметров генеральной совокупности  и  . Тогда аналогично предыдущему можно решить уравнение  . Решением этого уравнения является  - значение аргумента функции распределения Стьюдента, для которого значение равно  при числе степеней свободы  . Это значение аргумента можно найти либо по таблицам функции распределения Стьюдента, либо расчётным путём из функции, обратной к функции распределения Стьюдента. Последняя возможность имеется, например, в электронных таблицах Microsoft Excel. Нужно только помнить, что значения функции распределения Стьюдента нужно использовать для степеней свободы, т.е. на 1 меньшую объёма выборки. Можно доказать, что при объёме выборки  в расчётах интервальных оценок можно пользоваться функцией Лапласа вместо функции распределения Стьюдента для степеней свободы.
После определения  можно утверждать, что с доверительной вероятностью  неизвестное значение средней параметра генеральной совокупности находится в доверительном интервале  , т.е.  , где  - это реализация средней в сделанной выборке из генеральной совокупности, а  - это несмещённая оценка стандартного квадратичного отклонения значений рассматриваемого параметра генеральной совокупности, сделанная по этой выборке.
Таким образом, последовательность действий для определения доверительного интервала математического ожидания некоторого параметра в генеральной совокупности при неизвестном значении дисперсии распределения этого параметра генеральной совокупности с заданной доверительной вероятностью  должна быть следующей.
1. Вычисляем несмещённую оценку стандартного квадратичного отклонения значений рассматриваемого параметра генеральной совокупности .
2. По таблицам t-распределения Стьюдента или вычислениями в Microsoft Excel находим такое значение  , для которого  . Нужно использовать так называемую двустороннюю постановку вопроса, чтобы доверительная вероятность  определяла ширину всего доверительного интервала, а не его половины. В случае t-распределения Стьюдента вычислять половину доверительной вероятности не следует.
3. Вычисляется половина доверительного интервала  по формуле  .
4. Доверительный интервал записывается в виде  или .
На этом вычисление доверительного интервала при данных условиях заканчивается.
|
