Построение доверительного интервала дисперсии

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

В курсе математической статистики доказано, что в выборке из нормальной ге-

неральной совокупности с параметрами случайная величина ,

где – оценка неизвестной дисперсии, равная , имеет распределение

с n степенями свободы. Если параметр неизвестен, то в выражении можно заменить на его оценку ; в этом случае случайная величина также имеет распределение , но уже с , а не с n степенями свободы.

Пусть числа выбраны таким образом, что

, (9)

где – заданная доверительная вероятность.

Равенство (9) означает, что c вероятностью . Последнее двойное неравенство эквивалентно следующему:

. (10)

Следовательно, является доверительным интервалом дисперсии, соответствующим доверительной вероятности .

Однако по заданной вероятности можно построить множество доверительных интервалов для дисперсии. Принято выбирать так, чтобы вероятности были равны и равны (рис. 1).

Соответствующие значения могут быть определены по таблице А2.

Замечание. При больших объемах выборок можно воспользоваться тем, что рассмотренные оценки математического ожидания и дисперсии распределены

асимптотически нормально.

	Рисунок 1. График плотности - распределения с степенями свободы

x

Пример выполнения и оформления лабораторной работы

Дана выборка объемом (табл. 1) из нормальной генеральной совокупности.

Таблица 1

Найдем по формулам (1) и (3) оценки математического ожидания и дисперсии, ;

; .

Так как объем выборки невелик, для построения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся формулой (8):

.

Доверительную вероятность положим равной 0,95, . По таблице А3 по заданным и определим .

Доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности :

или .

При построении доверительного интервала дисперсии положим . Тогда . определим из условия ; определим из условия (рис. 1).

По таблице А2 по заданным вероятностям Р (0,01 и 0,99) и заданному числу степеней свободы находим .

Доверительный интервал дисперсии, соответствующий доверительной вероятности , определяется по формуле (10):

.

Контрольные вопросы

1. Какие оценки параметров называются точечными?

2. Что такое состоятельность, эффективность и несмещенность точечных оценок?

3. В чем состоит метод моментов определения точечных оценок?

4. Что такое доверительный интервал, доверительная вероятность?

5. Что такое -распределение?

6. Чему равны параметры -распределения?

7. Охарактеризуйте распределение Стьюдента.

8. Почему рассмотренный способ построения доверительных интервалов применим только при выборке из нормальной генеральной совокупности?

Исходные данные для лабораторной работы 3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4

Линейная регрессия

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с методическими указаниями.

2. Для данного набора значений независимой переменной и зависимой переменной , построив точки на плоскости, выдвинуть гипотезу о порядке линейной модели.

3. Методом наименьших квадратов найти оценки неизвестных параметров и

построить полученную линию регрессии.

4. Построить доверительные интервалы для оценок неизвестных параметров

для доверительной вероятности . Проверить гипотезу .

5. Построить доверительные интервалы для предсказанных значений для доверительной вероятности и показать их на графике.

6. Проверить построенную модель на адекватность.

7. Составить отчет, в котором привести графики, результаты счета, выводы.

8. Ответить устно на контрольные вопросы.

Построение линии регрессии

Связь зависимой переменной с одной или несколькими независимыми пере-

менными представляют в виде уравнения регрессии .

Построение уравнения регрессии предполагает решение двух задач:

а) выбор независимых переменных, существенно влияющих на зависимую величину, и определение вида уравнения регрессии;

б) оценивание параметров (коэффициентов) уравнения.

Пусть для одной независимой переменной по расположению точек на плоскости выдвинута гипотеза о линейной зависимости между переменными , т. е. - исход -ого опыта, можно представить в виде:

, (1)

где - число опытов, - случайные добавки, при учете которых любой индивидуальный получает возможность не попасть на линию регрессии, - неизвестные параметры. Предполагается, что распределены нормально с параметрами и независимы. Начнем с предположения, что модель установлена, но на последующих стадиях будем проверять, так ли это на самом деле. Модель (1) линейна относительно неизвестных параметров, относительно неизвестной функции модель (1) первого порядка.

В соответствии с методом наименьших квадратов оценки параметров находятся из условия обращения в минимум величины

(2)

Дифференцируя равенство (2) по и приравнивая полученные частные производные нулю, для нахождения оценок получим так называемую нормальную систему:

(3)

Решив систему (3), найдем оценки неизвестных параметров :

(4)

Замечание. Для линейной модели второго порядка

,

нормальная система для нахождения оценок неизвестных параметров будет иметь вид

(5)

Если ввести следующие обозначения

то система (5) может быть записана в виде

. (6)

Для модели , , где - значение –й независимой переменной , в -м опыте, нормальная система также будет иметь вид (6), если

.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману