Аксиомы алгебры случайных событий
Похожие статьи вашей тематики
Пусть  - непустое множество, которое включает все возможные исходы некого опыта, эксперимента. Эти исходы называются элементарными, они являются элементами множества , а само множество называется универсальным. Таким образом, элементарными событиями называются все возможные и взаимоисключающие исходы в том или ином опыте, а множество всех элементарных событий составляет универсальное множество , которое иногда называют пространством элементарных событий для данного опыта.
Логические объединения элементарных событий составляют все другие события из универсального множества . Иначе говоря, любое подмножество множества называется случайным событием или просто событием. Каждое событие содержит, таким образом, некоторые или как само множество все элементарные события в качестве своих элементов.
Пример. При бросании игральной кости, представляющей собой кубик с нанесёнными на его грани от одного до шести углублений, элементарными событиями можно считать шесть. Этими событиями будут выпадение граней кубика с 1, 2, 3, 4, 5 или 6 углублениями. А, например, составными событиями или просто событиями будут выпадение чётного числа на грани, числа, делящегося на три, числа, не превышающего 4, и т.п.
На множестве событий можно определить алгебру событий. Алгеброй событий называется любое множество подмножеств универсального множества, если для этого множества подмножеств универсального множества выполняются следующие аксиомы ( - это множество подмножеств универсального множества  , которое становится алгеброй, если в нём вводятся соответствующие аксиомы):
А1. Универсальное множество принадлежит этому множеству подмножеств:  .
А2. Если события  и  входят в множество подмножеств , то в это множество подмножеств входит их объединение, т.е.  , и их пересечение  .
А3. Если события входит в это множество подмножеств , то в него входит и противоположное событие: если  , то  .
Выполнение этих аксиом гарантирует, что результаты операций над событиями не выводят за пределы алгебры событий.
Следствие из аксиом. Пустое множество входит в алгебру событий, т.к. пустое множество – это противоположное к универсальному событие:  . А противоположное событие входит в алгебру событий.
В теории вероятностей принято записывать объединение событий как их сумму, т.е. считать, что  , а пересечение событий записывать как их произведение, т.е. считать, что  . Знак умножения, как это принято в алгебре, в последнем равенстве не поставлен.
В теории вероятностей в некоторых случаях используется и так называемая разность событий. Разностью событий  и  называется событие  , которое осуществляется тогда и только тогда, когда событие происходит, а событие не происходит. Событие можно ещё назвать теоретико-множественной разностью, чтобы такую операцию отличать от обычной разности чисел, её обозначают косой чертой:  .
В алгебре событий действуют обычные операции над множествами, поэтому и законы или аксиомы выполнения этих операций тоже обычные – коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность:
A4.  – коммутативность, перестановочность.
A5.  - ассоциативность.
A6.  –дистрибутивность.
Совокупность всех 6 аксиом, представленных в этом разделе, определяет алгебру событий.
|
