Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

в) Действие вибрационной нагрузки

При действии вибрационной силы P(t)=P₀ sinθt имеем

.

После его интегрирования общее решение уравнения (1) будет

.

Первое слагаемое правой части этого выражения y_соб и слагаемое в скобках относятся к собственным колебаниям с частотой ω. Из-за наличия демпфирования эти колебания достаточно быстро затухают. Поэтому в общем решении можно оставить только второе слагаемое из выражения в скобках. Тогда имеем

.

Так как , то и Поэтому

.

Из этой формулы следует, что когда q®w, то y® ∞. Такое резкое увеличение перемещений при колебаниях называется резонансом. В действительности перемещения сооружения бесконечно большими быть не могут, т.к. существует демпфирование колебаний за счет внутреннего трения и сопротивления среды. Тем не менее, амплитуды колебаний могут быть значительными, что может привести к разрушению сооружения. Чтобы этого не случилось, стремятся избежать резонанса или близкого к нему состояния.

Определим отношение максимального динамического перемещения к статическому перемещению:

.

Оно называется коэффициентом динамичности (или динамическим коэффициентом). Как следует из формулы, резонанса не будет, если отношение частоты вибрационной силы θ к частоте ω не равняется единице. Учитывая принятые нормы, потребуем, чтобы эти частоты отличались не менее чем на 30%. Для этого должно выполняться условие

.

Данный критерий позволяет установить так называемую резонансно-опасную зону (на рис. 17.4 – заштрихованная область).

Рис. 17.4

8. Колебания систем с n степенями свободы

Рассмотрим невесомую балку с n точечнымимассами (рис. 17.5 а).

Рис. 17.5

При изучении только вертикальных колебаний балки ее можно рассматривать как колебательную систему с n динамическими степенями свободы. Если на массы будут действовать динамические силы P₁=P₁(t),..., P_n=P_n(t), в них возникнут инерционные силы , …, , а со стороны балки будут действовать силы упругости R₁,..., R_n и силы сопротивления , …, .

Из условия равновесия сил (рис. 17.2 б) получим

, где .

Если силы упругости R_i определить по методу сил и все n уравнений объединить в систему, получим матричное уравнение

,

которое называется уравнением вынужденных колебаний системы со многими степенями свободы в форме метода сил. По виду оно соответствует уравнению колебаний системы с одной степенью свободы. Однако здесь все обозначения матричные: m – матрица масс, δ – матрица податливости, δm=d – динамическая матрица, y – вектор перемещений, P – вектор нагрузки, R* – вектор сил сопротивления:

, , ,

, , .

9. Собственные колебания систем с n степенями свободы

При P = P* = 0 получаем уравнение собственных колебаний

,

которое является системой n дифференциальных уравнений. Его решение ищется в виде суммы n частных решений:

где вектора a _i – формы собственных колебаний. Подстановка этого решения в исходное уравнение приводит к алгебраическому уравнению

,

где – собственное значение матрицы d.

Это матричное уравнение в обычной записи представляет собой систему однородных алгебраических уравнений

которая имеет два типа решения:

1) тривиальное решение a_1i = a_2i =...= a_ni = 0; тогда колебаний не будет;

2) неопределенное решение; для этого определитель системы уравнений должен равняться нулю:

Если раскрыть этот определитель, получим полином n -ной степени относительно l:

.

Такой полином имеет n корней l ₁, …, l _n, которые называются собственными значениями динамической матрицы d.

Запишем собственные значения в порядке убывания:

.

Так как , то . Поэтому круговые частоты колебаний расположатся в порядке возрастания:

.

Эта последовательность называется спектром частот, а наименьшая частота называется основной частотой.

Таким образом, динамическая система с n степенями свободы имеет n частот собственных колебаний (n собственных частот). Для практических целей наиболее важными являются несколько наименьших, так называемых низших частот собственных колебаний.

Каждой собственной частоте соответствует своя форма собственных колебаний. Для их определения собственные значения l _i нужно поочередно подставлять в систему алгебраических уравнений. Но во всех случаях определитель системы уравнений будет равняться нулю. Поэтому одно уравнение отбрасывают, а амплитуду одной из масс считают условно определенной (например, можно принять a₁ =1). Тогда из оставшихся уравнений можно вычислить амплитуды остальных масс.

Формы собственных колебаний динамической системы (рис. 17.6 а) можно представить графически (рис. 17.6 б):

Рис. 17.6

10. Вынужденные колебания систем с n степенями свободы

Пусть на систему действуют вибрационные силы . Соберем их в общий вектор , где – амплитудные (наибольшие) значения вибрационных сил, θ – их круговая частота.

Тогда уравнение вынужденных колебаний примет вид

.

Его общее решение равняется сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

.

Как и в системах с одной степенью свободы, свободные колебания быстро затухают: . Поэтому после установления колебаний они будут совершаться с частотой вибрационной силы:

.

Здесь – вектор амплитуд колебаний масс.

Если учесть, что

и что

,

то уравнение вынужденных колебаний примет вид

. (2)

Из него можно найти вектор амплитуд колебаний:

.

Однако, если частота вибрационной силы θ будет близка к одной из собственных частот , то определитель матрицы в скобках становится близкой к нулю. Это приводит к резкому увеличению амплитуд колебаний масс, т.е. к резонансу. Поэтому в системе с n степенями свободы возможны n резонансных состояний (рис. 17.7).

Рис. 17.7

С целью проверки динамической прочности сооружения определим действующие на систему максимальные силы.

Из соотношения

следует, что амплитудные (максимальные) значения инерционных сил должны изменяться по такому же закону

.

Отсюда

.

Тогда, учитывая что

,

уравнение (2) принимает вид

.

В обычной записи оно является системой n алгебраических уравнений

где

и называется системой канонических уравнений расчета на вибрационную нагрузку. Из него определяются максимальные значения инерционных сил . После этого вычисляются обобщенные силы, действующие на систему , затем максимальные значения внутренних усилий, а по ним проводится проверка прочности.