Колебания систем с одной степенью свободы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 25Следующая ⇒

Изучим колебания невесомой балки (рис. 16.7 а) с точечной массой m под действием динамической нагрузки . При учете только изгибных деформаций такую балку можно рассматривать как колебательную систему с одной динамической степенью свободы.

Уравнение колебаний массы определяется из условия динамического равновесия сил, действующих на нее (рис. 16.7 б):

J + R + R* – P = 0,

где – инерционная сила; R – сила упругости балки; R * – сила сопротивления среды движению массы. Так как при колебаниях система находится в движении, это уравнение называется уравнением движения.

Рис. 16.7

Силу упругости R можно определить двумя способами.

Вначале воспользуемся методом перемещений. Для этого в правом конце балки введем опору и дадим ей перемещение y, возникающее при колебании массы (рис. 16.7 в). Тогда реакция во введенной связи будет равна искомой силе упругости R. Для ее определения рассмотрим единичное состояние системы: введенной опоре дадим смещение y=1 (рис. 16.7 г) и вычислим реакцию (жесткость) r. В данном случае ее можно определить по таблице метода перемещений. Так как балка упругая, то R=ry. Если эту реакцию и силу инерции подставить в предыдущее уравнение, получим уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы в форме метода перемещений:

.

Во втором случае к концу балки приложим единичную силу. Она вызовет перемещение d (рис. 16.7 д), называемое податливостью. По теореме Бетти . Значит, r=1/d. Если подставить его в наше уравнение, затем поделить уравнение на m и ввести обозначение , получим уравнение колебаний системы с одной степенью свободы в форме метода сил:

.

Собственные колебания

Собственные колебания возникнут при P=0, R*=0. В таком случае уравнение колебаний примет вид

.

Его общее решение будет:

y=A sinw t + B cosw t.

Если сделать замены A=a cosj, B=a sinj, получим

y=a sin(w t+j).

Таким образом, собственные колебания являются гармоническими.

Определим их начальную фазу φ и амплитуду a. Пусть при t=0 известны начальное отклонение y₀ и начальная скорость v₀. Тогда

y₀ =a sin φ, v₀ = (0) = aω cos φ.

Из них имеем и .

Поэтому

, .

Следовательно,

, .

Если вес массы равен G, а ускорение свободного падения g, то G=mg. К тому же, вес G вызывает статический прогиб, определяемый по формуле y_ст=G×d. Поэтому имеем

.

Эти формулы позволяют найти частоту из решения статической задачи.

Из полученных формул вытекают следующие выводы:

1) начальная фаза и амплитуда зависят от начальных условий;

2) частота и период собственных колебаний системы не зависят от начальных условий;

3) при увеличении жесткости системы частота собственных колебаний возрастает, а при увеличении массы – уменьшается.

В о п р о с ы

1. Какие основные задачи решает динамика сооружений?

2. Чем отличается динамическая степень свободы от статической?

3. На какие три вида делятся колебания колебательных систем?

4. Какая разница между собственными и свободными колебаниями?

5. Как изменяется частота колебаний при изменении массы?

Л е к ц и я 17

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте