Уравнения дискретного метода. Уравнение равновесия

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 25Следующая ⇒

Система уравнений, составляемая в дискретном методе, называется полной системой уравнений строительной механики. В нее входят три уравнения – уравнение равновесия (статики), геометрическое уравнение и физическое уравнение.

Составление уравнения равновесия основано на следующем рассуждении: если сооружение находится в равновесии, то его дискретная модель также находится в равновесии; следовательно, и отдельные элементы и узлы дискретной модели тоже находятся в равновесии.

В качестве примера рассмотрим ферму (рис. 12.4 а).

Рис. 12.4

Выберем дискретную модель фермы (рис. 12.4 б) и будем считать, что в ее элементах e¹ и e² возникают только продольные усилия. Поэтому, вырезав узел 1 (рис. 12.4 в), можно составить два уравнения равновесия узла как суммы проекций сил на направления перемещений узла u₁ и u₂:

,

.

Представим эти уравнения в матричной форме

и обозначим входящие сюда матрицы и вектора:

, , , .

В результате получим матричное уравнение

,

которое называется уравнением равновесия, а входящие в него величины имеют следующие названия: A – матрица равновесия, S – вектор усилий, P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор.

По матрице A можно установить некоторые особенности расчетной модели. Возможны три случая.

1. n = m (A – квадратная матрица размерности n x n). Если определитель матрицы A не равняется нулю (det A ¹ 0), расчетная модель сооружения статически определима и геометрически неизменяема. В этом случае усилия определяются непосредственно из этого уравнения:

.

Рассмотренная нами ферма является именно такой (n=m=2).

2. n< m. В этом случае система статически неопределима, а число m–n определяет степень ее статической неопределимости. Если ранг матрицы A равняется n, то такая система геометрически неизменяема.

3. n> m. Такая система геометрически изменяема.

В о п р о с ы

1. Какова сущность континуального подхода?

2. Что такое дискретный подход в механике?

3. Какова общая схема реализации различных методов расчета при дискретном подходе?

4. Как определяется дискретная модель стержневой системы?

5. Какой способ переноса нагрузки предпочтительнее и чем это обосновано?

6. Что такое уравнение равновесия и как оно получается?

7. Какие особенности расчетной модели можно установить по полученной матрице равновесия?

Л е к ц и я 13

РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ

(продолжение)

Геометрическое уравнение

Внешняя нагрузка приводит к деформации элементов сооружения, но при этом они не должны отрываться друг от друга. Это требование можно записать в виде уравнений совместности деформаций, отражающих геометрическую сторону задачи. Систему таких уравнений будем называть геометрическим уравнением.

Порядок составления геометрического уравнения изучим на примере рассмотренной в предыдущей лекции фермы (рис. 13.1 а).

Рис. 13.1

Пусть под действием нагрузки элементы фермы получают только продольные деформации (рис. 13.1 б). Деформацию (удлинение) первого элемента e¹ можно определить по левой схеме на рис. 13.1 в:

.

Деформация второго элемента e² определяется по правой схеме рис. 1.1 в:

(из-за сжатия e² от перемещения первое слагаемое взято со знаком «–»).

Перепишем эти уравнения в виде

,

и представим в матричной форме

.

Это уравнение можно записать в виде

+ = 0, (1)

где и – вектора перемещений и деформаций, – связующая матрица. Так как – известная нам из предыдущей лекции матрица равновесия, то (символ t означает операцию транспонирования). Значит, при получении уравнения (1) можно обойтись без громоздких геометрических построений и воспользоваться известной матрицей .

Тогда уравнение (1) принимает вид

,

которое и является искомым геометрическим уравнением.

Возможность использования одной и той же матрицы в двух уравнениях – в уравнении статики и в геометрическом уравнении – называется принципом двойственности.

Физическое уравнение

Изучим связь между деформациями и внутренними усилиями элементов расчетной модели стержневой системы.

Выбранная нами расчетная модель сооружения такова, что механические и геометрические характеристики ее отдельных элементов постоянны, а внешняя нагрузка действует только в узлах. В этом случае по нескольким конечным значениям усилий в элементах расчетной модели можно определять усилия во всех точках стержней.

В расчетных моделях плоской стержневой системы встречаются три типовых элемента: 1) элемент с двумя жесткими узлами, 2) элемент с шарнирным и жестким узлами, 3) элемент с двумя шарнирными узлами. При их рассмотрении введем следующие обозначения: e^r – некоторый элемент, r – номер этого элемента.

1) Элемент с двумя жесткими узлами (рис. 13.2 а). В нем продольная и поперечная силы постоянны, а Q можно выразить через начальный и конечный моменты элемента: .

2) Элемент с шарнирным и жестким узлами (рис. 13.2 б), в котором поперечную силу можно выразить через конечный момент: .

3) Элемент с двумя шарнирными узлами (рис. 13.2 в. В нем имеется лишь постоянная продольная сила N.

а) б)

в)

Рис. 13.2

Зависимость между внутренними усилиями и деформациями этих элементов может быть установлена через обобщенный закон Гука и записана в матричной форме

, (2)

где – матрица податливости элемента, связывающая вектор перемещений элемента с вектором усилий .

Например, в элементе 1-го типа связь между компонентами векторов перемещений и внутренних усилий выражается формулами (даются без вывода)

,

,

.

Если эти уравнения записать в матричной форме (2), то матрица податливости элемента первого типа будет

.

Для элемента второго типа имеем

, , .

Для элемента третьего типа

, , .

Теперь рассмотрим полную дискретную модель сооружения как состоящую из m элементов , ,…, . Для всех этих элементов можно записать уравнения (2), связывающие вектора деформаций элементов с векторами усилий . Если же объединить эти уравнения в общую систему, а вектора деформаций и усилий отдельных элементов объединить в вектора и , то полученную систему уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения

= BS.

Оно, как устанавливающее связь между разными физическими величинами расчетной модели, называется физическим уравнением, где матрица

é û

называется матрицей податливости системы. Здесь знак é û означает диагональность матрицы.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры