Плоское движение твёрдого тела

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 14Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Плоским, или плоскопараллельным, движением твёрдого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости (иногда эту плоскость называют плоскостью параллелизма или основной плоскостью).

Плоское движение, например, совершает цилиндр , который катится по горизонтальной неподвижной плоскости (рис. 15). В кривошипно-ползунном механизме плоское движение совершает шатун AB (рис. 16).

Все точки цилиндра A шатуна AB движутся в плоскостях, параллельных вертикальной плоскости.

При плоском движении тела прямые, проведенные в теле перпендикулярно плоскости параллелизма, движутся поступательно, поэтому для изучения плоского движения тела достаточно изучить движение плоской фигуры, которая получается при сечении тела плоскостью, параллельной плоскости параллелизма. Так, для изучения плоского движения цилиндра (рис. 15) достаточно изучить качение по неподвижной горизонтальной прямой катка, радиус которого равен радиусу основания цилиндра (рис. 17). Для задания движения плоской фигуры в плоскости необходимо задать законы изменения координат и некоторой её точки (рис. 18), с которой связывается подвижная система отсчёта и угол , характеризующий поворот подвижной системы отсчёта относительно неподвижной . Выражения

, , (2.20)

Рис. 18

называются кинематическими уравнениями плоского движения твёрдого тела. Из теоремы о разложении плоского движения тела на поступательное вместе с полюсом и вращательное относительно полюса следует: движение фигуры в плоскости можно любым бесконечным числом способов представить как совокупность двух движений – поступательного вместе с полюсом и вращательного относительно полюса ; при этом кинематические параметры поступательного движения фигуры (скорость и ускорение полюса) от выбора полюса зависят; параметры же вращательного движения фигуры (угловая скорость и угловое ускорение ) от выбора полюса независят.

Между скоростями точек плоской фигуры существует зависимость, которая определяется теоремой: скорость любой точки фигуры (рис. 19) равна геометрической сумме скорости точки , принятой за полюс, и скорости вращения точки вместе с фигурой вокруг полюса :

Рис. 19

. (2.21)

По модулю , а вектор направлен в сторону круговой стрелки . Согласно выражению (2.21), скорость направлена по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и . Спроектировав векторное равенство (2.21) на направление прямой , получаем теорему о проекциях скоростей: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Так, для скоростей, изображенных на рис. 19, согласно теореме о проекциях скоростей, имеем:

. (2.22)

Теорема о проекциях скоростей позволяет наиболее просто решить задачу определения скорости любой точки плоской фигуры, если известны направление скорости этой точки и скорость любой другой точки фигуры.

Рис. 20

Картина распределения скоростей точек плоской фигуры наглядно определяется, если найден её мгновенный центр скоростей (МЦС). Согласно теореме о МЦС, при непоступательном движении плоской фигуры (рис. 20) в каждый момент времени существует такая единственная точка P, скорость которой в данный момент времени равна нулю и которая называется мгновенным центром скоростей. Если для плоской фигуры S известны (рис. 20) скорость некоторой точки A и угловая скорость , то для определения МЦС необходимо повернуть вектор вокруг точки A на угол 90° в сторону круговой стрелки и на полученной при этом прямой AL отложить отрезок AP, равный

.

Полученная таким образом точка P – МЦС фигуры S.

Скорость точки P равна нулю только в данный момент времени. В следующий момент времени картина распределения скоростей плоской фигуры меняется, и МЦС меняет своё положение, поэтомуточка P называется мгновенным центром скоростей.

МЦС может находиться и за пределами плоской фигуры.

Отображение МЦС на неподвижной плоскости дает мгновенный центр вращения (МЦВ).

Рис. 21

Относительно МЦС скорости точек плоской фигуры распределяются так, как будто фигура вращается в данный момент времени вокруг МЦС. Таким образом, если для плоской фигуры (рис. 21) известны МЦС (точка P) и угловая скорость , то скорости любых точек A и B фигуры равны

. (2.23)

Векторы и направлены перпендикулярно соответственно отрезкам и в сторону круговой стрелки .

Из рисунка видно, что для определения МЦС в общем случае необходимо знать направление скоростей двух любых точек и плоской фигуры. МЦС находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных к векторам и в точках и .

Разделив первое выражение (2.23) на второе, получаем:

.

Следовательно, скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до МЦС.

Рис. 22

Рассмотрим некоторые частные случаи определения МЦС.

1. Если тело (рис. 22)катится без скольжения по неподвижной поверхности , то для тела МЦС (точка P) находится в точке контакта тела с поверхностью.

2. Если для двух точек и (рис. 23а,б) плоской фигуры и , то МЦС находится на пересечении прямой и линии, соединяющей концы векторов и .

б

3. Если для двух точек и фигуры (рис. 24) , то МЦС находится в , тогда угловая скорость фигуры

.

В этом случае скорости всех точек фигуры одинаковы по модулю и направлению и фигура либо движется поступательно, либо происходит мгновенное распределение скоростей фигуры, как при поступательном движении.

Рис. 25

Ускорения точек плоской фигуры определяются согласно теореме: ускорение любой точки плоской фигуры (рис. 25) равно геометрической сумме ускорения точки А, принятой за полюс, вращательного и центростремительного ускорений при вращении точки вместе с фигурой вокруг полюса :

. (2.24)

Рис. 25

Для определения ускорения по равенству (2.24) находим и направляем ускорения и ,

, вектор направлен в сторону ;

, вектор направлен по от к .

Суммируя геометрически и , находим:

.

– ускорение при вращении точки вместе с фигурой вокруг полюса .

Тогда согласно (2.24) ускорение направлено по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

Вектор ускорения образует с отрезком угол (рис. 25), причём

и . (2.25)

Аналогично МЦС для плоской фигуры при непоступательном её движении существует мгновенный центр ускорения (МЦУ). – это точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Если для плоской фигуры известны ускорение некоторой точки (рис. 26), угловая скорость и угловое ускорение , то для определения МЦУ необходимо:

- определить угол по выражению (2.26);

- повернуть вектор вокруг точки на угол в сторону вращения ;

- на прямой отложить отрезок .

Получим МЦУ – точку .

Сказанное о МЦС характерно и для МЦУ:

а) МЦУ может находиться за пределами плоской фигуры;

б) ускорения точек плоской фигуры распределяются так, будто фигура вращается в данный момент времени вокруг МЦУ;

в) ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до МЦУ.

Если для плоской фигуры (рис. 26) известны МЦУ – точка , угловая скорость и угловое ускорение , то ускорение любой точки фигуры равно

,

и вектор образует с отрезком угол , который определяется выражением (2.25). Угол откладывается от отрезка так, чтобы вектор был направлен в сторону .

Рассмотрим наиболее характерные примеры решения задач по кинематике плоского движения твёрдого тела.

Пример 1. Отрезок (рис. 27) движется в плоскости чертежа. Известна скорость точки отрезка и направление скорости конца . Определить скорости точек и отрезка, если м/с, , м, и направлена по .

Можно указать несколько способов решения этой задачи. Некоторые из них базируются на основном векторном равенстве (2.21)

Рис. 27

.

Однако в данной задаче, как и в большинстве других задач, наиболее просто картина распределения скоростей точек отрезка может быть получена с помощью МЦС. МЦС отрезка можно получить исходя из общего случая: восстанавливаем перпендикуляры к векторам в точке и в точке . Точка находится на пересечении указанных перпендикуляров.

Тогда угловая скорость отрезка

рад/с,

и направлена в ту сторону, куда вращает относительно точки .

Зная , находим скорости точек В и С:

м/с;

м/с.

Скорость направлена в сторону .

Аналогично точке С можно найти модуль и направление скорости любой другой точки отрезка.

Если в задаче известна скорость одной точки и направление скорости другой точки, то скорость этой точки наиболее просто определяется с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки. Согласно этой теореме

,

откуда м/с.

Пример 2. В положении механизма, указанном на рис. 28, определить скорость точки , если м, м, рад/с, рад/с. Направление угловых скоростей и указано на рисунке.

В механизме, рассматриваемом в данном примере, звенья и совершают плоское движение. Поскольку направление скорости точки механизма неизвестно, указать положение МЦС звеньев сразу нельзя, поэтому данную задачу можно решить с использованием векторных равенств (2.21).

Находим скорости точек и

м/с; направлен в сторону ;

м/с; направлен в сто­рону .

Согласно выражению (2.21), скорость точки

и . (2.26)

Из равенства левых частей записанных векторных равенств следует равенство и правых, следовательно,

. (2.27)

В равенстве (2.27) неизвестны модули скоростей и . Задаём направление указанных скоростей. Модули скоростей и находим путём проектирования выражения (2.27) на две оси. Указанные оси можно выбрать произвольно, но для рационального решения задачи оси выбираем так, чтобы на каждую из них проектировалась одна из неизвестных скоростей равенства (2.27).

Проектируем (2.27) на ось Bx

, откуда м/с.

Так как получилась со знаком «+», направление вектора на рис. 28указано верно. Проектируя (2.27) на вторую ось By, можно найти . Учитывая, что , находим:

м/с.

Рассмотрим примеры решения задач на определение ускорений точек тела при плоском движении.

Для определения ускорения любой точки тела, совершающего плоское движение, в общем случае необходимо знать ускорение одной его точки ,угловую скорость и угловое ускорение . По способу определения все основные задачи можно условно разделить на две группы. К первой группе отнесём задачи, в которых плоское движение совершают тела типа катков, катящихся без скольжения по неподвижным телам. Все другие задачи отнесём ко второй группе. После определения , и ускорение любой точки тела определяется, как правило, одинаково с использованием векторного равенства (2.24).

Рассмотрим решение характерных примеров задач первой (пример 3) и второй (пример 4) групп.

Рис. 29

Пример 3. В планетарном механизме (рис. 29) колесо 2 катится без скольжения по неподвижному колесу и приводится в движение кривошипом . Определить скорости и ускорения точек и колеса 2 механизма, если

м,

рад/с,

рад/с²и кривошип вращается в данный момент времени замедленно.

Для решения задачи зададим направление и . Находим ускорение точки колеса 2, его угловую скорость и его угловое ускорение .

Ускорение точки равно

,

где м/с²; в сторону ,

м/с²; направлен по от к .

Угловую скорость удобно определять с помощью МЦС. Согласно первому частному случаю определения МЦС, для колеса 2 это точка – точка контакта колес 1 и 2. Скорость точки колеса

м/с; в сторону .

Тогда угловая скорость колеса 2

рад/с,

и направлена в ту сторону, в которую скорость вращает колесо 2 относительно МЦС – точки P.

Находим скорости точек и колеса 2

м/с; в сторону ω,

м/с; в сторону .

В задачах первой группы угловое ускорение определяется с учётом того, что для колеса 2 .

рад/с².

Угловое ускорение направлено в ту сторону, в которую вектор вращает колесо относительно МЦС – точки .

Принимая за полюс точку , записываем векторное равенство для ускорения точки :

,

м/с²; в сторону ,

м/с²; направлен по AB от B к A.

Для определения модуля ускорения находим две его проекции на оси и :

м/с²;

м/с².

Тогда м/с².

Аналогично определяем ускорение точки колеса 2

.

м/с²; в сторону ,

м/с²; направлен по СА от С к А.

Находим проекции ускорения на оси и

м/с².

м/с².

Ускорение точки С равно

м/с².

Пример 4. Кривошип кривошипно-ползунного механизма (рис. 30) вращается ускоренно, имея в данный момент времени угловую скорость рад/си угловое ускорение рад/с². Оп­ределить в заданном положении механизма скорость и ускорение точек и , если м, и .

Звено механизма совершает плоское движение. Для определения ускорения любой точки шатуна необходимо, как и в примере 3, определить вначале ускорение одной его точки , угловую скорость и угловое ускорение .

Из условия задачи находим ускорение точки

,

м/с²; в сторону ,

м/с²; направлен по OA от A к O.

Угловую скорость шатуна находим с помощью МЦС. Для этого определим скорость точки

м/с; в сторону .

МЦС точка P звена находится на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей в точке и в точке .

Угловая скорость шатуна

рад/с,

направлена в ту сторону, в которую скорость вращает звено относительно МЦС точки .

Зная и МЦС, находим скорости точек и :

; м;

м/с;

;

м;

м/с.

и направлены перпендикулярно соответственно и в сторону .

В задачах второй группы для определения углового ускорения записываем векторное равенство для ускорения точки шатуна

. (2.28)

Из равенства (2.28) находим ускорение , зная которое определяем звена .

В векторном равенстве (2.28) ускорения, известные по модулю и направлению, подчеркнуты двумя чертами; известные только по направлению – одной чертой.

Находим ускорение

м/с²; направлено по от к .

Задаём направление и . Модули ускорений и находим путём проектирования равенства на две любые оси. Оси следует выбирать так, чтобы на каждую проектировалось только одно неизвестное ускорение равенства (2.28).

Проектируем (2.28) на ось , направленную по :

;

м/с².

Поскольку получилось со знаком «+», направление ускорения указано верно.

Проектируем (2.28) на ось

+

,

м/с².

Значит, направление ускорения указано также верно. Зная , находим угловое ускорение звена :

рад/с²,

угловое ускорение шатуна направлено в ту сторону, в которую ускорение вращает звено относительно полюса .

Поскольку для звена известны ускорение точки , и , можно найти ускорение точки .

Принимая за полюс точку , записываем векторное равенство для ускорения точки :

. (2.29)

В равенстве (2.29)

м/с²; в сторону ,

м/с²; направлен по от к .

Находим проекции ускорения на две перпендикулярные оси и

–1,23

+

м/с²;

–0,74

+

м/с².

Тогда

м/с².

В задачах второй группы следует особо выделить подгруппу задач, в которых для тела, совершающего плоское движение, известны ускорения двух его точек и требуется определить ускорение любой другой точки тела.

Пример 5. Квадрат