Тема: «Исследование функций с помощью производной»

↑

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Практическая подготовка

Тема: «Исследование функций с помощью производной»

Цели:закрепить и систематизировать теоретические знания, формировать умения и навыки решения задач по исследованию функции с помощью производной.

В результате выполнения работы студент должен знатьсвязь производной функции со свойствами монотонности функции: возрастанием, убыванием и экстремумами.

Должен уметьисследовать функцию с помощью производной.

План выполнения практической работы

1. Повторение основных теоретических сведений по данной теме

2. Изучение методических рекомендаций по решению задач и выполнение упражнений и задач .

3. Выполнение практической самостоятельной работы по вариантам.                           

4. Письменные ответы на контрольные вопросы                            

Задания для практической работы.

1. Краткие теоретические сведения.

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и f′(x)>0 при всех x∈(a,b), то функция f(x) возрастает на (a,b); если же f′(x)<0 при всех x∈(a,b) то f(x) убывает на этом интервале.

Критические точки – это точки, в которых f′(x)=0 или f′(x) не существует.

Если существует такая окрестность U0(x₀) точки x₀, что для всякой точки x≠x₀ этой окрестности выполняется неравенство f(x)>f(x₀) (или f(x)<f(x₀)) то точка x₀ называется точкой минимума (максимума) функции y=f(x), а число f(x₀) - минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Достаточные условия экстремума непрерывной функции.

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности (x₀−δ,x₀+δ) критической точки x₀, за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах (x₀−δ,x₀) и (x₀,x₀+δ) производная f′(x) имеет противоположные знаки, то x₀− точка экстремума, причем, если f′(x)>0 при x∈(x₀−δ,x₀) и f′(x)<0 при x∈(x₀,x₀+δ), то x₀− точка максимума, а если f′(x)<0 при x∈(x₀−δ,x₀) и f′(x)>0 при x∈(x₀,x₀+δ), то x₀− точка минимума. Если же f′(x) при x∈(x₀−δ,x₀+δ), x≠x₀, сохраняет знак, то точка x₀ не является точкой экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в критической точке x₀ и в некоторой ее окрестности. Если f′′(x₀)<0, то x₀− точка максимума функции f(x), если f′′(x₀)>0, то x₀ точка минимума. Если же f′′(x₀)=0, то требуются дополнительные исследования.

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f(x) на данном отрезке [a,b] достигается или в критических точках или на концах отрезка.

Если функция в интервале имеет положительную (отрицательную) вторую производную, то кривая на этом интервале вогнута (выпукла).

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f на отрезке [a, b], непрерывной на нем:

1) вычислить производную функции f;

2) найти все критические точки x₁, x₂,…, x_m функции f; принадлежащие интервалу (a, b);

3) найти значения функции f на концах отрезка [a, b] и в найденных выше критических точках.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры