Геометрическая интерпретация игровых моделей

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 28Следующая ⇒

Решению игры (2×2) можно дать простую геометрическую интерпрета- цию. Поскольку 0 ≤ aij ≤ 1 и вероятности 0 ≤ pk ≤ 1, то в системе координат aij (ординаты) и p2 (абсциссы) построим квадрат со сторонами, равными 1. Вер- тикальные стороны этого квадрата соответствуют p2 = 0 (левая) и p2 = 1 (правая). На них будем откладывать значения выигрыша из платёжной матрицы || || aij . В результате левая сторона квадрата будет соответствовать стратегии A1, а правая сторона квадрата определит стратегию A2 игрока A. На этих сто- ронах отложим значения выигрышей по первой строке платёжной матрицы (a11 и a12) и по второй строке платёжной матрицы (a21 и a22). Соединим ли- ниями точки, находящиеся на левой и правой сторонах квадрата соответст- венно столбцам. Теперь стратегией B1 игрока B (соответственно первому столбцу платёжной матрицы) будет линия, соединяющая a11 с a21. Анало- гично стратегией B2 игрока B (соответственно второму столбцу платёжной матрицы) будет линия, соединяющая a12 с a22. На рис 5.1 представлен при- мер, когда платёжная матрица || || ij a имеет седловую точку M. Она получи- лась на пересечении стратегий игрока B. Чистая цена игры ν определена ор- динатой точки M. Нижняя граница выигрыша игрока A определяется линией (a11, M, a22), верхняя цена выигрыша игрока B – линией (a12, M, a21). Точка M, в которой максимин равен минимаксу, и определяет решение игры ν. Для её достижения игрок A должен чередовать стратегию A1 с вероятностью p* 1 со стратегией A2 с вероятностью p* 2. Значение абсциссы точки M определяет величину вероятности p* 2

Возможен другой случай, когда матрица игры имеет седловую точку, а стратегия A1 для игрока A заведомо невыгодна, так как при любой чистой стратегии даёт меньший выигрыш, чем при A2. Этот случай представлен на рис. 5.2. Игрок A должен применять только стратегию A2. Чистая цена игры ν = a22. Верхняя цена игры игрока B равна a21. Третий случай: платёжная матрица не имеет седловой точки (нет пересе- чения стратегий Bj). На рис. 5.3 показан случай, когда стратегия B1 заведомо невыгодна игроку B. Стратегия A1, в свою очередь, невыгодна игроку A. По- этому оба игрока будут пользоваться стратегиями A2 и B2. Цена игры ν = a21, а верхняя цена игры будет равна a22.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология