Вказівки до виконання роботи

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 52 из 59Следующая ⇒

Для виконання роботи потрібно засвоїти такий теоретичний матеріал: розщеплення енергетичних рівнів та виникнення енергетичних зон у кристалах; принцип Паулі; розподіл електронів за енергетичними станами; поділ твердих тіл на провідники, напівпровідники та діелектрики відповідно до зонної теорії.

Література: [1, т.2 §§3.2, 3.5, 3.6; т.3 §§ 14.2; 2, §§ 240–243; 4, т.3 §§ 51, 53, 58, 59].

Для розгляду поведінки електрона в твердому тілі можна застосувати рівняння Шредінгера і знайти допустимі стани й значення його
енергії. Такий підхід приводить до створення зонної теорії твердого тіла, в основі якої лежить адіабатичне наближення. Оскільки маси та швидкості ядер та електронів суттєво відрізняються, можна вважати, що ядра у вузлах кристалічної ґратки нерухомі, а рух електронів розглядається в постійному періодичному полі ядер. Застосовується також наближення самоузгодженого поля. Взаємодія певного електрона з рештою електронів замінюється дією на нього стаціонарного періодичного електричного поля, яке утворюється усередненим в просторі зарядом решти електронів і ядер. Таким чином, в зонній теорії багатоелектронна задача зводиться до задачі про рух одного електрона в зовнішньому періодичному полі – усередненому і самоузгодженому полі всіх ядер й електронів.

Розглянемо уявно процес утворення твердого тіла з ізольованих атомів. Поки атоми ізольовані, тобто знаходяться на макроскопічних відстанях один від одного, їхні схеми енергетичних рівнів збігаються (рис. 6.1.1). У разі "стискання" моделі до кристалічної ґратки, тобто коли відстані між атомами стануть однаковими з міжатомними відстанями у твердих тілах, взаємодія між атомами призведе до того, що енергетичні рівні атомів змістяться, розщепляться та розширяться в зони, утворюючи так званий зонний енергетичний спектр.

Із рис. 6.1.1, на якому зображено розщеплення рівнів як функції відстані між атомами, видно, що суттєво розщеплюються лише рівні зовнішніх, валентних електронів, які найслабкіше пов’яза-ні з ядром і мають найбільшу енергію, а також більш високі рівні, які в основному стані атома взагалі не зайняті електронами. Рівні внутрішніх електронів або зовсім не розщеплюються, або розщеплюються слабко.

Утворення зонного енергетичного спектра в кристалі є квантово-механічним ефектом і випливає із співвідношення невизначеностей Гейзенберга та принципу Паулі. В кристалі валентні електрони атомів можуть переходити від атома до атома крізь потенціальні бар’єри, що розділяють атоми, тобто переміщуватися без зміни повної енергії (тунельний ефект). Це призводить до того, що середній час життя валентного електрона в цьому атомі порівняно з ізольованим атомом суттєво зменшується і становить приблизно 10^-15 с (для ізольованого атома – приблизно 10^-8 с). Час життя електрона в будь-якому стані пов’язаний з невизначеністю його енергії (ширина рівня) співвідношенням невизначеностей . Отже, якщо природна ширина спектральної лінії становить приблизно 10^-7 еВ, то в кристалах вона сягає 1...10 еВ, тобто енергетичні рівні валентних електронів розширюються в зону дозволених значень енергії.

Енергія зовнішніх електронів може набувати значення в межах зафарбованих на рис. 6.1.1 ділянок, які називаються дозволеними енергетичними зонами. Кожна дозволена зона "вміщує" стільки близько розміщених дискретних рівнів, скільки атомів містить кристал. Відстань між сусідніми рівнями в зоні становить приблизно 10^-22 еВ. Оскільки це дуже маленьке значення, зони можна вважати практично неперервними, але факт кінцевого числа рівнів у зоні відіграє важливу роль у розподілі електронів за енергетичними станами.

Дозволені енергетичні зони розділені зонами заборонених значень енергії, які називаються забороненими енергетичними зонами. В заборонених зонах електрони перебувати не можуть. Ширина зон (дозволених і заборонених) не залежить від розмірів кристалу. Дозволені зони тим
ширші, чим слабкіший зв’язок електрона з ядром.

Зонна теорія твердих тіл дає змогу з єдиної позиції розглянути існування металів, діелектриків і напівпровідників, пояснюючи відмінності їхніх електричних властивостей, по-перше, неоднаковим заповненням електронами дозволених зон і, по-друге, шириною заборонених зон.

Ступінь заповнення електронами енергетичних рівнів в зоні визначається заповненням відповідного атомного рівня. Якщо, наприклад, якийсь рівень атома повністю заповнений електронами відповідно до принципу Паулі, то утворена з нього зона також повністю заповнена. Загалом можна говорити про валентну зону, яка повністю заповнена електронами й утворена з енергетичних рівнів внутрішніх електронів вільних атомів, і про зону провідності (вільна зона), яка або частково заповнена електронами, або вільна й утворена з енергетичних рівнів зовнішніх "колективізованих" електронів ізольованих атомів. Зона, яка заповнена електронами частково або вільна (за Т=0 К ), називається зоною провідності. Верхня зона, яка повністю заповнена електронами (за Т=0 К), називається валентною зоною.

Залежно від міри заповнення зон електронами та ширини забороненої зони можливі чотири випадки, зображені на рис. 6.1.2. На рис. 6.1.2, а верхня зона, яка містить електрони, заповнена лише частково, тобто в ній є вакантні рівні. У цьому випадку електрон, отримавши будь-яку незначну енергію (наприклад, завдяки тепловму збудженню або електричному полю), зможе перейти на більш високий енергетичний рівень тієї ж зони, тобто стати вільним і брати участь в процесі провідності. Таким чином, якщо в твердому тілі є зона, яка частково заповнена електронами, то таке тіло завжди буде провідником електричного струму. Саме цю властивість мають метали.

Тверде тіло буде провідником електричного струму також тоді, коли валентна зона перекривається вільною зоною, що призводить до частково заповненої зони (рис.6.1.2, б). В такому випадку утворюється так звана "гібридна" зона, яка заповнюється валентними електронами лише частково. Це явище характерне для лужноземельних елементів (Be, Mg, Ca, Zn та ін.). Отже, тверде тіло є провідником, якщо зона провідності заповнена електронами частково.

Крім розглянутого перекриття зон, можливим є також перерозподіл електронів між зонами, які утворилися з рівнів різних атомів, в результаті чого замість двох частково заповнених зон в кристалі буде одна повністю заповнена (валентна) зона та одна вільна зона (зона провідності). Тверді тіла, у яких енергетичний спектр електронних станів складається з валетної зони та вільної зони провідності, є діелектриками або напів-провідниками залежно від ширини забороненої зони .

Якщо ширина забороненої зони кристала  становить кілька електрон-вольт, енергії теплового руху не вистачає для переходу електронів з валентної зони в зону провідності і кристал буде діелектриком, залишаючись ним за всіх реальних температур (рис. 6.1.2, в). Якщо ширина забороненої зони  невелика (порядку 1 еВ), то перехід електрона з валентної зони в зону провідності може відбуватись порівняно легко або шляхом теплового збудження, або завдяки зовнішньому джерелу, яке здатне надати електронам енергію не меншу, ніж ширина забороненої зони, і кристал буде напівпровідником (рис. 6.1.2, г).

Різниця між металами та діелектриками з погляду зонної теорії полягає в тому,  що  за Т = 0 К  в зоні провідності металів є електрони, а в зоні провідності діелектриків їх немає. Різниця між діелектриками та напівпровідниками визначається шириною заборонної зони: для діелектриків вона становить кілька електрон-вольт, для напівпровідників – порядку 1 еВ. За температур, близьких до 0 К, напівпровідники поводяться як діелектрики. З підвищенням температури в напівпровідниках зростає кількість електронів, які внаслідок теплового збудження переходять в зону провідності, отже, електрична провідність напівпровідників в такому випадку зростає.

У природі напівпровідники існують у вигляді елементів IV, V та VI груп періодичної системи елементів, а саме Si, Ge, As, Se, Te, а також хімічних сполук, наприклад оксидів, сульфідів, селенідів та сплавів елементів різних груп. Розрізняють власні та домішкові напівпровідники. Прикладом власних напівпровідників можуть бути хімічно чисті речовини Ge, Se, а також багато хімічних сполук: InSb, GaAs, CdS тощо. За 0 К власні напівпровідники поводяться як діелектрики, оскільки в зоні провідності немає електронів. За підвищення температури електрони з верхніх рівнів валентної зони можуть бути перекинуті на нижні рівні зони провідності, що призведе до появи вільних електронів й створить можливість існування електричного струму.

У фізиці твердого тіла доведено, що питома електрична провідність  бездомішкового напівпровідника залежить від температури за експоненціальним законом:

.

Зважаючи на обернену залежність між питомим опором і питомою провідністю  та лінійну залежність між опором і питомим опором, можна визначити опір напівпровідника за формулою:

,                             (6.1.1)

де ∆W – ширина забороненої зони; k – стала Б ольцмана; Т – абсолютна температура.

Коефіцієнт А також залежить від температури, але порівняно з експонентою ця залежність незначна, тому у досить вузькому інтервалі температур його можна вважати сталим. Температурну залежність, що описується формулою (6.1.1), відображено на рис. 6.1.3.

Запишемо формулу (6.1.1) для двох різних значень температури:

,  .

Поділивши перше рівняння на друге, одержимо:

.

Логарифмуючи цей вираз і розв’язуючи одержане рівняння відносно , одержимо формулу для визначення ширини забороненої зони:

.                   (6.1.2)

На рисунку 6.1.4 наведено схему експериментальної установки.

Рис. 6.1.4

Порядок виконання роботи

1. За допомогою омметра визначити опір терморезистора за кімнатної температури.

2. Увімкнути нагрівник і через кожні 5...10 ^оС за допомогою омметра вимірювати опір. Температура не повинна перевищувати 80 ºС.

3. Результати вимірювань записати в табл. 6.1.1.

4. Побудувати графік залежності  від .

5. Для розрахунку  вибрати на прямолінійній ділянці графіка значення величин ,  і відповідні їм значення  та .

6. За формулою (6.1.2) обчислити ширину забороненої зони .

7. Виразити значення ширини забороненої зони в електрон-вольтах, зважаючи на те, що 1 еВ = 1,6 10^–19 Дж.

Таблиця 6.1.1

t, ^оC

T, K

, K^–1

R, ом

lnR

Контрольні запитання

1. Поясніть причину розщеплення енергетичних рівнів та виникнення енергетичних зон у кристалах з погляду зонної теорії твердого тіла.

2. Сформулюйте принцип Паулі.

3. Чим, з погляду зонної теорії твердого тіла, відрізняються провідники, напівпровідники та діелектрики?

4. Що називають валентною зоною? Що називають зоною провідності?

5. Поясніть, що таке заборонена зона.

6. Що таке рівень Фермі?

7. Згідно з яким принципом заповнюються зони в кристалі?

8. Елементи якої групи таблиці Менделєєва належать переважно до напівпровідників?

9. Як залежить опір напівпровідників від температури? Поясніть причину такої залежності.

10. Чи можна діелектрик зробити провідником? У який спосіб?

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману