Вопросы для обсуждения (собеседования) на практических занятиях

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Ответы и решения

Задание 1. Найти меру Жордана Канторова множества K.

Решение.

Рассмотрим последовательность сумм длин заполненных отрезков и последовательность сумм длин включающих отрезков (последовательности Жордана):

Очевидно, что

.

Следовательно, mesK=0

Задание 2. Установить, измеримо ли по Жордану множество рациональных чисел, содержащихся в отрезке [0; 1].

Решение.

Рассмотрим последовательность сумм длин заполненных отрезков и последовательность сумм длин включающих отрезков (последовательности Жордана):

Очевидно, что

.

Следовательно, множество  не измеримо по Жордану.

Задание 3. Найти меру Лебега множества рациональных чисел, содержащихся в отрезке [0; 1].

Решение.

Множество  является бесконечным подмножеством счетного множества Q, поэтому оно само является счетным. Так как мера Лебега произвольного счетного множества равна нулю, заключаем, что

.

Задание 4. Найти интеграл Стилтьеса функции  по функции  на отрезке [0; 1].

Решение.

Так как на данном отрезке [0; 1] обе функции непрерывны, а значит и ограничены, при этом функция  дифференцируема внутри данного отрезка, то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана и, соответственно, к интегралу Дарбу. Получаем

№ 1.Доказательство классических неравенств для сумм (неравенств Гёльдера, Коши-Буняковского и Минковского) и установление взаимосвязи между ними.

№ 2. Теорема об интегрируемости произвольной положительной степени модуля интегрируемой функции. Доказательство интегральных аналогов классических неравенств для сумм (неравенств Гёльдера, Коши-Буняковского и Минковского).

№ 3.Мера Жордана линейного множества. Измеримость объединения, пересечения и разности измеримых по Жордану множеств. Мера Жордана для множеств на плоскости и в пространстве. Квадрируемость фигур и кубируемость тел.

№ 4.Мера Лебега линейного множества. Критерий измеримости множества по Лебегу. Измеримость объединения, пересечения и разности измеримых по Лебегу множеств. Связь измеримости множества по Жордану и по Лебегу.

№ 5.Понятие об измеримых функциях одной переменной. Измеримость f(x)+C, kf(x), |f(x)|, f²(x) и 1/f(x).

№ 6.Понятие интеграла по Дарбу. Критерий интегрируемости по Дарбу. Примеры вычисления интегралы по Дарбу с помощью определения.

№ 7.Основные свойства интеграла Стилтьеса. Сведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана в случае дифференцируемости функции по которой находится интеграл Стилтьеса.

№ 8. Основные свойства интеграла Лебега. Связь интегрируемости функции по Лебегу и по Риману.

№ 9.Приложения теоремы Банаха. Метод сжимающих отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений, в алгебре, в математическом анализе.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология