Уравнения движения для первого Лагранжиана и вытекающие из него условие лоренца

↑

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Первый Лагранжиан векторного поля как обобщение Лагранжиана электромагнитного поля
Функция описывающая векторное поле состоит из четырех компонент , которые в совокупности образуют четырех вектор. Примером векторного поля является электромагнитное, Лагранжиан которого имеет вид:

Электромагнитное поле является безмассовым. Лагранжиан массивного векторного поля можно выбрать по аналогии с Лагранжианом электромагнитного поля, добавляя массовое слагаемое :

Здесь .

Уравнения движения для первого Лагранжиана и вытекающие из него условие Лоренца

Найдем уравнения движения соответствующие данному массивному векторному полю . Для этого находим производные:

 То есть уравнения движения имеют вид:

Дифференцирую второе уравнение по  в виду того, что  антисимметричный тензор, а  симметричный, получаем:

Данное условие называется условием Лоренца. В виду этого условия:

То есть каждая компонента векторного поля удовлетворяет уравнению Клейна – Гордона.

Второй Лагранжиан векторного поля как обобщение Лагранжиана скалярного поля и его уравнения движения

Иногда Лагранжиан записывают в несколько ином виде, а именно, путем прямого обобщения Лагранжиана скалярного поля:

Делая замену:

Вместе с изменением знака слагаемых, получаем:

Что отличается от выписанного нами первоначально на добавку  так как:

 Уравнения движения для Лагранжиана  выглядит так:

Отсюда, условие  не следуют, но налагая его дополнительно, получаем:

То есть Лагранжиан  приводит к тем же уравнениям, что и Лагранжиану  с дополнительным условием .

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности