Решение дифференциальных уравнений математической модели обобщенного электромеханического преобразователя методом Рунге –Кутта 4-го порядка

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 9Следующая ⇒

8)-9) Численное решение дифференциальных уравнений математической модели обобщенного электромеханического преобразователя. Решение дифференциальных уравнений математической модели обобщенного электромеханического преобразователя методом Эйлера

Практически все задачи, относящиеся к анализу динамических систем и к их математическому моделированию, базируются на численных методах решения систем ДУ

Простейшим численным методом решения одиночного дифференциального уравнения вида

является метод Эйлера. Он реализуется следующей рекуррентной формулой:

.

Здесь h— шаг решения. Погрешность этого метода значительна (порядка h), поэтому он на практике почти не применяется.

В документе, показанном на рис. 14.47, дана реализация в приложении «Mathcad» так называемого моди­фицированного метода Эйлера, погрешность которого близка к h² (то есть по­рядка 1% при h =0,1), что нередко уже приемлемо для приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Улучшение точности вычислений при использовании этого метода фактически достигнуто за счет интегрирования методом трапеций вместо метода прямо­угольников, характерного для реализации простого метода Эйлера. В конце рис. 14.47 показано точное решение дифференциального уравнения, взятого для этого примера.

На рис. 14.48 представлена вторая часть данного документа, на которой даны графики точного решения (сплошная линия) и приближенного численного решения модифицированным методом Эйлера. Нетрудно заметить, что точки (ввиду невысокой точности оценки вычислений по графикам) очень плотно укладываются на кривую точного решения.

Однако из таблиц векторов точного и приближенного решения, также представ­ленных на рис. 14.48, заметно расхождение результатов в конце решения уже в третьем знаке после десятичной точки.

Теперь остановимся на реализации решения дифференциального уравнения у'=f(х,у) другим хорошо известным методом — методом Рунге—Кутта. Пусть h — шаг приращения переменной х, i — индекс, имеющий значения от 1 до N (N — число интервалов решения с шагом h). Метод Рунге—Кутта четвертого порядка дает погрешность решения порядка h^-4, что удовлетворяет самым придирчивым требованиям к точности численных методов. Реализация метода показана на рис. 14.49.

Для решения надо задать функцию f(х, у), шаг изменения переменной х - h, число точек решения N и начальные значения х и у. На рис. 14.49 представлены вектор начальных значений х и у, а также заданная в векторной форме система уравнений метода Рунге—Кутта. Вычисление коэффициентов формул Рунге-Кутта задано в виде функции пользователя. Решение абсолютно наглядно.

Вторая часть документа (рис. 14.50) содержит формулу точного решения, гра­фики точного и приближенного решений и векторы решений.

Нетрудно заметить, что в пределах точности вычислений (три знака после деся­тичной точки) точное и приближенное решения совпадают.

Дифференциальные уравнения n-го порядка при решении приводятся к системе дифференциальных уравнений первого по­рядка и решаются стандартными средствами решения, входящими в большинство математических систем.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману