Решение нелинейных уравнений

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 4Следующая ⇒

       В практических вычислениях довольно часто приходится сталкиваться с необходимостью решения уравнений вида

                          (4.1)

где  — заданная функция. Такие уравнения могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными (т.е. неалгебраическими, например, тригонометрическими или логарифмическими и т.п.).

Все методы решения нелинейных уравнений можно разделить на две группы: аналитические и итерационные.

Аналитические методы позволяют найти точное решение уравнения (4.1) с помощью формул. Эти методы, как правило, работают на достаточно узком классе уравнений: квадратных, кубических, биквадратных, тригонометрических, показательных и логарифмических специального вида.

Итерационные (численные) методы могут быть использованы для нахождения корней достаточно широких классов уравнений. Суть этих методов в том, что они на каждой итерации формируют новое приближение корня уравнения (4.1), которое всё меньше и меньше отличается от точного его точного значения. Процесс вычисления корня завершается, когда полученное приближение отличается от точного значения корня на величину заданной точности.

Численное решение уравнения (4.1) происходит в два этапа. На первом этапе происходит отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых интервалов, каждый из которых содержит ровно один корень уравнения. На втором этапе происходит уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной точностью.

Процедура отделения корней опирается на следующую теорему Больцано-Коши из математического анализа

Пусть 1) функция  определена и непрерывна в замкнутом промежутке ;

2) функция  на концах замкнутого промежутка  принимает значения разных знаков;

3)  монотонна на ;

Тогда между внутри интервала  необходимо найдётся единственная точка  — корень уравнения (4.1).

       Результатом этапа отделения корней служит начальное приближение к корню, которое будет использовано на этапе уточнения корня.

На практике наиболее часто используют табличный, графический и аналитический способы отделения корней.

1. Табличный способ отделения корней предполагает следующую последовательность действий:

(а) задать интервал, на котором требуется найти корни уравнения (4.1);

(б) вычислить значения функции  в промежуточных точках, отстоящих друг от друга на постоянную величину и затабулировать функцию;

(в) выбрать интервалы, на концах которых функция  принимает значения разных знаков;

(г) в качестве начального приближения корня взять середины интервалов, выбранных в предыдущем пункте.

1. Графический способ отделения корней предполагает следующую последовательность действий:

(а) задать интервал, на котором требуется найти корни уравнения (4.1);

(б) построить график функции ;

(в) Визуально найти точку пересечения графика функции с осью абсцисс и взять в качестве начального приближения к корню абсциссу этой точки.

1. Аналитический способ отделения корней предполагает следующую последовательность действий:

(а) задать интервал, на котором требуется найти корни уравнения (4.1);

(б) найти все корни производной ;

(в) затабулировать функцию  в точках, полученных в предыдущем пункте и на концах области поиска корней уравнения (4.1);

(г) выбрать интервалы, на концах которых функция  принимает значения разных знаков;

(д) в качестве начального приближения корня взять середины интервалов, выбранных в предыдущем пункте.

Уточнение корней осуществляется с помощью специального инструмента «Подбор параметра»

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов