e1=e2×e3, e2=e3×e1, e3=e1×e2

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

3) rot(a+b)=rota+rotb

4) rot(ωa)= ωrota+|gradω’a|

г) Сформулируйте теорему Стокса. Запишите математическое выражение этой теоремы.

Теорема Стокса циркулирующая в.п. замкнутая контуру равна потоку ротора этого вектора через произвольную поверхность, опирающийся на данный контур.

2. Рассмотрим задачу о колебаниях бесконечно длинной струны. (35 баллов)

а) Какое уравнение описывает колебания длинной струны?

б) Какие дополнительные условия ставятся к задаче?

Были данны только начальные условия

в) Найдите решение этого уравнения методом Даламбера.

6)

1. Оператор Гамильтона. (35 баллов)

а) Запишите выражение для оператора Гамильтона.

Вспомним определение градиента скалярной функции u = u(x, y, z):

grad u =

Определим оператор, стоящий в скобках в правой части этого равенства, так:

Определение 16.1. Оператор

б) Назовите дифференциальные операции первого порядка. Выразите их с помощью оператора Гамильтона.

в) Найдите результат действия оператора Гамильтона на произведения скалярных и векторных полей.

2. Уравнение Лежандра. (35 баллов)

а) Запишите обощенное уравнение Лежандра.

б) Какой вид имеет уравнение Лежандра при .

в) Приведите методику решения уравнения Лежандра.

г) Запишите формулы Родриго для полиномов Лежандра.

7)

1. Результат применения оператора Гамильтона к произведению двух векторных полей. (35 баллов)

а) Что такое оператор Гамильтона?

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом {\displaystyle \nabla }▼ (набла)

б) Докажите формулу

в) Примените векторный оператор дифференцирования к произведению двух векторов и найдите результат .

г) Примените векторный оператор дифференцирования к произведению двух векторов и найдите результат .

2. Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных. (35 баллов)

а) Назовите известные вам методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Метод Даламбера, Метод Фурье, Метод функции Грина

б) Какова сущность метода разделения переменных?

Метод разделения переменных (метод Фурье) применим не всегда, но в тех случаях, когда им можно воспользоваться, является простейшим. С его помощью можно расщепить уравнение в частных производных для функции n независимых переменных n

Обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию представляют в виде произведения u(x1, x2,….xn)=f1(x1)f2(x2)…fn(xn)

в) Приведите пример использования метода разделения переменных при решении дифференциального уравнения в частных производных.

8)

1. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. (35 баллов)

а) Назовите дифференциальные операции второго порядка.

Оператор Лапласа

б) Используя оператор Гамильтона, найдите выражения для дифференциальных операций второго порядка.

в) Составьте таблицу дифференциальных операций второго порядка.

г) Чему равен оператор Лапласа.

2.  Типы дифференциальных уравнений в частных производных. (35 баллов)

а) Что такое дифференциальное уравнение в частных производных?

Дифференциальное уравнение в частных производных— дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

б) Назовите типы дифференциальных уравнений в частных производных.

Гиперболический, параболический, эллиптический

в) Приведите их примеры.

9)

1. Классификация векторных полей. (35 баллов)

а) Что такое векторное поле? Назовите виды векторных полей.

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени различен в разных точках и может быть описан векторным полем.

Виды

В.п. дивергенция которого равно нулю наз. Соленоидальное.

В.п. ротор которого равно нулю наз. Потенциальным

В.п. лапласиан которого равно нулю наз. Гармоническим.

б) Какое поле называют соленоидальным? Напишите условие соленоидальности векторного поля.

Векторное поле называется соленоидальным или вихревым, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

в) Какое поле называют потенциальным? Напишите условие потенциальности векторного поля.

В.п. ротор которого равно нулю наз. Потенциальным

г) Дайте определение гармонического векторного поля. Напишите формулу, выражающую условие гармоничности векторного поля.

Векторное поле A называется гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является безвихревым и соленоидальным:

2.  Дифференциальные уравнения в частных производных. (35 баллов)

а) Что такое дифференциальное уравнение в частных производных?

Дифференциальное уравнение в частных производных— дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные

б) Что называют порядком и интегралом дифференциального уравнения в частных производных?

Порядком дифференциальным уравнения в частных производных называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнения.

Процесс нахождения всех решений дифференциального урав. в частных производных называется интегрированием этого уравнения.

в) Дайте определение линейных и нелинейных, однородных и неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных.

Дифф. Урав. в частных производных называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее частных производных. Все остальные не линейные.

Если функ. Кси – решение урав. и Скси решение этого же урав., то данное урав. называется однородным(С- произвольная постоянная) в противном случае – неоднородным.

г) Напишите формулу, выражающую общий вид линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка.

10)

1. Криволинейные ортогональные системы координат. (35 баллов)

а) Дайте определение криволинейных координат. Напишите уравнения, определяющие координатные поверхности. Что такое координатные линии?

Числа q1q2q3 определяющие положение точки в пространстве, назв. Криволинейными координатами.

Пересечение двух координатных поверхностей называется координатной линией.

q 1(xyz), q2(xyz), q3(xyz) координатные поверхности

б) Какую криволинейную систему координат называют ортогональной?

Если ее базисные векторы удовлетворяют следущим соотношениям:

e 1 ∙ e 2= e1∙e3=e2∙e3=0

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте