Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Билет №1

1. В математической физике используют основные формулы векторной алгебры. (35 баллов)

а) Что такое скалярное произведение двух векторов? Приведите основные свойства скалярного произведения двух векторов.

Свойства

·

· (переместительный закон).

· (распределительный закон).

· (сочетательный закон).

б) Чему равен модуль векторного произведения двух векторов? Выразите векторное произведение двух векторов через проекции на координатные оси. Приведите основные свойства векторного произведения.

C=|C|=|ab|=absin(a^b)

Свойства

1)|ab|=-|ba|

2) |λab|=|aλb|=λ|ab|

3) |a(b+c)|=|ab|+|ac|

в) Запишите формулу двойного векторного произведения.

|a|bc||=b(ac)-c(ab)

г) Покажите основное свойство смешанного произведения трех векторов.

(a|bc|)=(b|ca|)=(c|ab|)=-(c|ba|)

2. Рассмотрим задачу об охлаждении бесконечно длинного стержня. (35 баллов)

Билет №2

1. Скалярное поле. (35 баллов)

а) Дайте определение скалярного поля. Приведите примеры скалярного поля.

Если каждой точке Mзаданной области пространства (чаще всего размерности 2 или 3) поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число {\displaystyle u} , то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая R ^n and R (скалярная функция точки пространства).

u скалярное поле обозначается так

u=u(x,y,z) стационарное

u=u(М) точка в пространстве М=(x,y,z)

u=u(x,y,z,t) нестационарное

б) Как графически изображается скалярное поле? Приведите примеры.

Для графического изображения графического скалярного поле используют эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальыне поверхности совокупность точек которых поле имеет одинаковые значение.

u=u(x,y,z) = const.

Жазык конденсатор сурет

в) Что такое градиент скалярного поля? Покажите основные свойства градиента скалярного поля.

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины {\displaystyle \varphi } , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Свойства:

1) Свойства градиента

г) По какой формуле вычисляется градиент скалярного поля в декартовых координатах?

Градиент скалярного поля - вектор

Как вычисляется модуль градиента скалярного поля?

2. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. (35 баллов)

а) Запишите уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

б) Найдите решение этого уравнения методом Фурье

в) Назовите специальные функции, котрые встречаются при решении данного уравнения.

3)

1. Векторное поле. (35 баллов)

а) Дайте определение векторного поля. Приведите примеры векторного поля.

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке.

б) Как графически изображается векторное поле? Приведите примеры.

в) Выведите формулу векторных линий.

г) Что такое поток векторного поля через элементарную поверхность, через полную замкнутую поверхность?

2. Уравнение Лапласа в сферических координатах. (35 баллов)

а) Запишите уравнение Лапласа в сферических координатах.

б) Найдите решение этого уравнения методом Фурье.

в) Назовите специальные функции, котрые встречаются при решении данного уравнения.

4)

1. Одной из основных характеристик векторного поля является дивергенция векторного поля. (35 баллов)

а) Что такое дивергенция векторного поля?

Дивергенцией в.п. в данной точке называется предел к которому стремится отношение потока в.п. через произвольную, окружающую точку, поверхность к ограниченному этой поверхностою обьему ∆V при стремлении последнего к  0.

в) По какой формуле вычисляется дивергенция векторного поля в декартовых координатах?

б) Приведите основные свойства дивергенции векторного поля.

Она обладает след. свойствами:

1) div c= 0 c=const.

2) divλa=λdiva, λ=const.

3) div(ua)=udiva+agradu

4) div(a+b)=diva+-divb

г) Сформулируйте теорему Остроградского-Гаусса. Запишите математическое выражение этой теоремы.

Фо́рмула Гаусса — Остроградского — математическая формула, которая выражает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью:

2. Уравнение Бесселя и его решение. (35 баллов)

а) Какой вид имеет уравнение Бесселя?

б) Приведите методику решения уравнения Бесселя.

в) Назовите цилиндрические функции. Запишите выражения для цилиндрических функций.

5)

1. Основные характеристики векторного поля. (35 баллов)

а) Что такое циркуляция векторного поля?

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

б) Дайте определение ротора векторного поля. По какой формуле вычисляется ротор векторного поля в декартовых координатах?

Ро́тор, ротация или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Ротор (Вихрь) — векторный оператор векторного поля, показывает насколько и в какую сторону закручено поле в каждой точке. Ротор обозначается значком rot или : ▼Х F, где ▼ векторный дифференциальный оператор набла, и F изучаемое векторное поле. В декартовой системе координат ▼Х F вычисляется следующим образом:

в) Приведите основные свойства ротора векторного поля.

1) rot c = 0, c-const.

2) rotλa = λrota, λ=const.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров