Схема полного исследования функции.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

7. Асимптоты.

Определение. Прямая A называется асимптотой кривой, если расстояние  от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю.

Различаются вертикальные (параллельные оси ординат) и наклонные асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты.

Если ,  или , то прямая  есть асимптота кривой .

Пример: Найдите вертикальные асимптоты кривой .

Решение. Найдём область определения функции :

Найдём односторонние пределы:

;               ;

;               .

Прямые ,  являются вертикальными асимптотами.

2) Наклонные асимптоты.

Пусть кривая  имеет наклонную асимптоту . Тогда , .

Пример: Найдите асимптоты кривой .

Решение. 1) Найдём односторонние пределы: ; .

 - вертикальная асимптота.

2) Найдём коэффициенты k и b:

;                    .

Получаем уравнение наклонной асимптоты .

1) Область определения функции.

2) Чётность, нечётность.

3) Периодичность.

4) Точки пересечения с осями.

5) Точки разрыва, вертикальные асимптоты.

6) Интервалы монотонности, точки экстремума.

7) Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.

8) Наклонные, горизонтальные асимптоты.

Пример: Исследуйте функцию  и постройте её график.

Решение.

1)

2)  - функция нечётная, график симметричен относительно начала координат;

3) функция непериодическая;

4) точка пересечения с осями Ox и Oy - ;

5) найдём односторонние пределы для точек разрыва:

;                          ;

;                             .

 - точка разрыва второго рода;

 - точка разрыва второго рода.

Прямые ,  - вертикальные асимптоты.

6) найдём первую производную функции :

;

из уравнения  получаем критические точки , , .

Определяем знаки первой производной.

В результате получаем две точки экстремума  и . Находим значения функции в этих точках: , .

7) найдём вторую производную функции :

;

при  получаем точку .

Определяем знаки второй производной.

Точка является точкой перегиба. На интервалах  и  график функции вогнутый, а на интервалах  и  – выпуклый.

8) найдём коэффициенты k и b:

;                 .

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии