Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

4. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной.

Теорема.Пусть  и в точке существует вторая производная. Тогда, если , то  – точка минимума функции, а если , то  – точка максимума функции.

Пример: Исследуйте на экстремум функцию .

Решение.

 - критические точки.

 - точка максимума;

           - точка минимума.

.

5. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на данном отрезке.

Если функция  непрерывна на отрезке , то на этом отрезке данная функция принимает и своё наибольшее, и своё наименьшее значения.

Для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции  на отрезке , нужно:

1) найти производную данной функции;

2) найти критические точки;

3) вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка;

4) из всех найденных значений выбрать наибольшее (наименьшее).

Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Решение. Находим производную  и критические точки . Определяем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее -18.

6. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Рассмотрим на плоскости кривую, которая является графиком дифференцируемой функции .

Определение 1.Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на этом интервале.

Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой её касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращённую выпуклостью вниз – вогнутой.

Теорема 1. Если во всех точках интервала  вторая производная функции  отрицательна, т.е. , то кривая  обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 2. Если во всех точках интервала  вторая производная функции  положительна, т.е. , то кривая  обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).

Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

В точке перегиба касательная пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Теорема 3 (необходимое условие точки перегиба). Для того чтобы график функции  имел перегиб в точке , необходимо, чтобы функция была дифференцируема в точке , и чтобы в этой точке вторая производная либо не существовала, либо была равна нулю.

Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба).Пусть кривая определяется уравнением . Если  или  не существует и при переходе через точку  производная  меняет знак, то точка кривой с абсциссой  есть точка перегиба.

Пример: Найдите точки экстремума и точки перегиба функции .

Решение. Находим область определения функции: .

Первая производная функции равна:

.

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: . При переходе через точку  производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. При переходе через точку  производная не меняет знака, следовательно, в этой точке функция не имеет экстремума.

Найдём значение функции в точке минимума .

Вторая производная функции равна:

.

Приравняем вторую производную к нулю и найдем точки: . При переходе через эти точки производная меняет знак, следовательно, они являются точками перегиба.

Найдём значения функции в точках перегиба: , .

Результаты исследования сведены в таблицу:

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии